Значимые фигуры

Истоки математического анализа можно увидеть еще в трактате Архимеда «О методе», в «Арифметике бесконечного» Валлиса и в работах Ферма (глава 6). Сам анализ делится на две различные, но связанные между собой области.

Дифференциальное исчисление – это метод нахождения скорости изменения некоторой величины, меняющейся со временем. К примеру, скорость – это скорость изменения положения объекта (на сколько километров изменится ваше положение по прошествии часа). Ускорение – это скорость изменения скорости (ускоряетесь вы или замедляетесь). Главный вопрос дифференциального исчисления – найти скорость изменения некоторой функции времени. Результат – функция времени, потому что скорость изменения величины тоже может быть различной в разные моменты времени.

Интегральное исчисление занимается площадями, объемами и тому подобными вещами. Его метод – разрезать объект на тончайшие ломтики, затем оценить площадь или объем каждого ломтика, не обращая внимания на возможные ошибки, которые незначимы из-за малой толщины ломтиков, сложить все вместе, а затем позволить ломтикам сделаться сколь угодно тонкими. Как обнаружили независимо друг от друга и Ньютон, и Лейбниц, интегрирование, по существу, – это процесс, обратный дифференцированию.

Оба процесса задействуют несколько сомнительную с философской точки зрения идею величин, которые можно сделать сколь угодно маленькими. Такие величины известны как бесконечно малые и требуют очень осторожного обращения. Никакое конкретное число не может быть «сколь угодно малым», поскольку это сделало бы его меньше самого себя. Однако число, которое изменяется, может стать настолько маленьким, насколько мы захотим. Но если нечто изменяется, то как это нечто может быть числом?

Предположим, нам точно известно, где находится автомобиль в любой момент времени, и мы хотим определить по этим данным его скорость. Если за период времени длительностью в один час он переместился на 60 км, то средняя скорость за этот период времени составит 60 км/ч. Но вполне может быть, что в какие-то промежутки времени автомобиль ехал быстрее, а в какие-то – медленнее. Уменьшив интервал времени до одной секунды, мы получим более точную оценку – среднюю скорость за 1 с. Но и за этот промежуток времени скорость автомобиля могла немного измениться. Мы можем аппроксимировать мгновенную скорость в любой заданный момент, определив, какое расстояние пройдет машина за очень короткий промежуток времени, и разделив это расстояние на величину промежутка. Однако, каким бы маленьким мы ни сделали этот интервал, результат будет только приблизительным. Но если мы попробуем проделать все это с использованием формулы для положения машины, то окажется, что если делать интервал времени все более близким к нулю, то средняя скорость на этом интервале будет подходить все ближе и ближе к некоторой конкретной величине

. Эту величину мы и назовем мгновенной скоростью.

Обычный способ расчета требует делить расстояние на время, за которое это расстояние было пройдено. Критики, такие как епископ Джордж Беркли, не замедлили указать, что, когда промежуток времени становится нулевым, эта дробь приобретает вид 0/0, что лишено смысла. Беркли опубликовал свои критические замечания в 1734 г. в виде памфлета под названием «Аналитик, или Обращение к неверному математику», в котором он саркастически называл Ньютоновы флюксии (мгновенные скорости) «призраками ушедших величин».

И у Ньютона, и у Лейбница были ответы на подобные возражения. Ньютон использовал физический образ интервала, стремящегося (текущего) к нулю, но никогда этого нуля на самом деле не достигающего. Пройденное расстояние тоже стремится к нулю, и средняя скорость тоже к чему-то стремится. Главное тут, говорил Ньютон, – это то, к чему она стремится. Попадать туда вовсе не обязательно. Поэтому он назвал свой метод методом «флюксий» – вещей, которые текут. Лейбниц предпочитал считать временной интервал бесконечно малым; под этим он подразумевал не какую-то фиксированную ненулевую величину, которая может быть сколь угодно малой (что не имеет логического смысла), а изменяемую ненулевую величину, которая может становиться

сколь угодно малой. Его точка зрения в основном совпадает с Ньютоновой. Собственно, если учесть некоторые тонкости терминологии, это та самая точка зрения, которую используем и мы сегодня, и называется она «взятие предела». Однако потребовалось не одно столетие, чтобы во всем разобраться. Это тонкий момент. Даже сегодня студентам-математикам требуется время, чтобы привыкнуть к этим понятиям.

* * *

Возможно, епископ Беркли был недоволен основаниями математического анализа, но математики всегда готовы игнорировать философов, особенно когда эти философы запрещают им пользоваться методом, который отлично работает. Нет, главным камнем преткновения в связи с математическим анализом был не вопрос допустимости его использования, а спор о приоритете – о том, кого считать автором этого метода.