Антихрупкость. Как извлечь выгоду из хаоса

Ответ на вопрос «что делать в мире, который мы не понимаем?» очень прост: нужно работать с нежелательными величинами f (x).

Часто куда легче модифицировать f (x), чем узнать что-либо про x. (Другими словами, проще стать неуязвимым, чем предсказать Черных лебедей.)

Пример: если я приобретаю страховку от падения рынка (здесь x) больше чем на 20 процентов, f (x) не зависит от той части распределения вероятностей, где x падает ниже 20 процентов, и невосприимчива к изменению параметра масштаба. (Это пример штанги.)

^{Рис. 27. Выпуклая трансформация (f (x) – выпуклая функция от x). Разница между}

x и риском, который связан с x. На втором графике риск потерь отсутствует. Главное – модифицировать f (x) так, чтобы свойства x на левом графике распределения вероятностей волновали нас как можно меньше. Этот метод называется выпуклой трансформацией, иначе – «стратегия штанги».

Заблуждение «зеленого леса»: когда путают f (x) с другой функцией g (x), у которой наблюдается другая нелинейность.

Математическим языком: если мы антихрупки в отношении x, разброс (или переменчивость, или другие меры дисперсии) величины x

выгоден f (x), потому что математическое ожидание асимметричного распределения зависит от дисперсии, и если распределение скошено вправо, дисперсия всегда увеличивает его ожидание (у логнормального распределения, например, формула математического ожидания включает в себя компоненту + 1/2 ²).

Далее, распределение вероятностей для f (x) существенно отличается от распределения вероятностей для x, особенно в условиях нелинейности.

Когдаf (x) выпукла (вогнута) монотонно, f (x) скошена вправо (влево).

Когдаf (x) возрастает и выпукла слева, но вогнута справа, у распределения вероятностей для

f (x) более тонкие хвосты, чем у распределения для x. Так, в теории перспектив Канемана-Тверски полезность изменений благосостояния более «неуязвима», чем полезность самого благосостояния.

Почему отдача важнее, чем вероятность (специальный раздел): Если p (x) – это плотность, то математическое ожидание f (x) p (x) dx, зависит больше от f, чем от p, и чем более нелинейно f, тем больше оно зависит от f, чем от p.

Четвертый квадрант (Taleb, 2009)

Идея проста: хвостовые события нельзя рассчитать (в областях жирных хвостов), однако мы можем оценить, чем именно рискуем, если такие события произойдут. Пусть f (x) – возрастающая функция. Таблица 10 связывает ее с понятием Четвертого квадранта.

_{Таблица 10}

Локальная и глобальная выпуклость (специальный раздел)

Ничто по своей природе не бессмертно; для любой вещи максимальный исход – это смерть. Потому явления обычно выпуклы на одном конце и вогнуты на другом.

Максимальный ущерб, который можно нанести биологическому организму, на самом деле ограничен. Вернемся к вогнутому графику в примере с большим камнем и маленькими камнями в главе 18: расширяя область значений переменной, мы увидим, что ограниченность вреда где-то обретет выпуклость. Вогнутость здесь доминирует, однако она локальна. Рисунок 28 показывает, чем может продолжиться история с большим камнем и множеством малых.

^{Рис. 28. На левом графике показана более широкая область значений переменной в истории с раздробленным камнем из главы 18. С какой-то точки вогнутость превращается в выпуклость с беспредельной пользой (ведущей в Крайнестан). Такая отдача возможна только с экономическими переменными, скажем, с продажами книг или чем-то, что не имеет (или почти не имеет) ограничений. Обнаружить подобный эффект в природе я не могу.}

^{Рис. 29. Слабая антихрупкость (Среднестан) с ограниченным максимумом. Типична для природы.}