Апология математики, или О математике как части духовной культуры

Математика может чувствовать себя польщённой тем, что к числу деталей, в которых мифологическая картина мира отличается от картины реальной, принадлежат и некоторые математические сюжеты. Например, большинство убеждено, что в математике все понятия определяются и все утверждения доказываются. Но ведь каждое понятие определяется через другие понятия, а каждое утверждение доказывается, опираясь на другие утверждения. Вспоминается риторический вопрос г-жи Простаковой: “Портной учился у другого, другой у третьего, да первой портной у кого же учился?” Автору этих строк приходилось слышать и такое определение площади поверхности шара: “Площадь поверхности шара есть предел площадей поверхностей правильных многогранников, вписанных в этот шар, - при неограниченном возрастании числа граней этих многогранников”. Подобное представление о площади поверхности явно возникло по аналогии с тем фактом, что длина окружности действительно есть предел периметров правильных многоугольников, вписанных в эту окружность, - при неограниченном возрастании числа сторон этих многоугольников. Но всё дело в том, что в правильном многоугольнике может быть какое угодно количество сторон, в правильном же многограннике количеством граней может служить лишь одно из следующих пяти чисел: четыре (у тетраэдра), шесть (у куба, он же гексаэдр), восемь (у октаэдра), двенадцать (у додекаэдра) или двадцать (у икосаэдра) - так что ни о каком неограниченном возрастании числа граней не может быть речи.

Самое же замечательное явление связано с отражением в мифологическом сознании учения о параллельных прямых.

Что такое параллельные прямые, знают практически все. Практически все слышали и об аксиоме о параллельных прямых - ведь её проходят в школе. Никто из так называемых “людей с улицы”, которых я спрашивал, в чём состоит аксиома о параллельных, не отговорился незнанием. Абсолютное большинство из опрошенных отвечали так: аксиома о параллельных состоит в том, что параллельные прямые не пересекаются. Рекомендуем читателю самому произвести опрос и убедиться, что именно такая формулировка аксиомы о параллельных входит в массовое сознание.

Получив указанный выше ответ на вопрос о содержании аксиомы о параллельных, следует немедленно задать следующий вопрос: а что такое параллельные прямые? Скорее всего, вам ответят, что параллельными называются такие прямые, которые не пересекаются. (Если даже клаузула “и лежат в одной плоскости” не будет произнесена, этому не следует придавать значения: её необходимость понимают все.) Многие сразу же осознают, что тут что-то не так: ведь никакая аксиома не может заключаться в том, что непересекающиеся прямые не пересекаются. Многих из тех, кто не поймёт это сразу сам, удастся в этом убедить. Останется незначительное меньшинство, считающее аксиому о непересекаемости непересекающихся прямых вполне возможной. С представителями этого меньшинства договориться трудно - разговор происходит на разных языках. (Ведь параллельные прямые и в самом деле не пересекаются. А возможна ли такая аксиома: “Всякий зелёный предмет является зелёным”? - спрашивал я. Конечно возможна, отвечали мне представители меньшинства; вот если сказать “Всякий зелёный предмет является красным”, то такая аксиома невозможна.)

Замечательно, что присутствие в общественном сознании ложной формулировки аксиомы о параллельных (“параллельные прямые не пересекаются”) имеет интернациональный характер. В этом несколько неожиданном обстоятельстве автор этих строк убедился следующим образом. В марте 2006 года на симпозиуме в Пекине, посвящённом проблемам математического образования, я рассказал о своих наблюдениях относительно аксиомы о параллельных - наблюдениях, полученных на русскоязычном материале. Среди присутствовавших был американский профессор математики Веллеман (Daniel J. Velleman) из довольно известного Амхерст Колледжа (Amherst College), что в штате Массачусетс. В тот же день он спросил свою жену Шелли (Shelley L. Velleman), бакалавра и магистра нескольких гуманитарных наук, приехавшую вместе с ним в Пекин, в чём состоит аксиома о параллельных прямых. И получил ответ: “В том, что параллельные прямые не пересекаются”. Тогда он спросил, а что такое параллельные прямые. Ответом ему был хохот: супруга профессора сразу же поняла бессмысленность своего ответа. Итак, хотя бы в этой детали русская и американская мифологические картины мира оказались одинаковы.