Апология математики (сборник статей)

Пример 20.Важное свойство выпуклого многоугольника. Для того частного случая, когда геометрическая фигура является многоугольником, можно предложить и другое определение выпуклости. Именно можно назвать многоугольник выпуклым, если он обладает свойством (β): какую ни взять сторону многоугольника, многоугольник целиком лежит по одну сторону от неё, т. е. от прямой, служащей её продолжением.

Эти определения равносильны: (1) из (α) вытекает (β); (2) из (β) вытекает (α). Утверждения (1) и (2) легко доказываются от противного. Доказательство для (1) сейчас изложим; доказать (2) предоставляем читателю.

Итак, предположим, что в многоугольнике, обладающем свойством (α), нашлись две такие его точки P и Q, которые лежат по разные стороны от некоторой его стороны AB. Поскольку все точки отрезка AB принадлежат многоугольнику, ему будут принадлежать и все точки треугольников PAB и QAB. Таким образом, отрезок AB является общей стороной треугольников PAB и QAB, расположенных хотя и по разные стороны от этого отрезка, но целиком в пределах рассматриваемого многоугольника. Очевидно, что такого не может быть, коль скоро AB является одной из сторон этого многоугольника.

§ 7. Индукция

Доказательства методом математической индукции

Метод математической индукции применяется тогда, когда хотят доказать, что некоторое утверждение выполняется для всех натуральных чисел. Продемонстрируем метод математической индукции на простом примере.

Пример 21. Доказать, что всегда 1 + 2 + 3 + … + n = n (n + 1)/2. Рассуждаем так. Во-первых, для n = 1 это утверждение верно; действительно:

Во-вторых, предположив, что наше утверждение верно для n = k, убеждаемся, что тогда оно верно и для n = k + 1; действительно:

Значит, наше утверждение верно для всех значений n. Действительно, оно верно для n = 1 (это было наше «во-первых»), а тогда в силу «во-вторых» оно верно для n = 2, откуда в силу того же «во-вторых» оно оказывается верным и для n = 3 и т. д.

Пример 22. Доказать, что справедливо равенство Ададурова (названное по имени Василия Евдокимовича Ададурова, российского математика XVIII в., который это равенство нашёл[140])

1³ + 2³ + 3³ + … +n³ = (1 + 2 + 3 + … +n)².

Доказываем по индукции. Для n = 1 проверяем непосредственно. Предположим, что равенство верно при n = k. Докажем, что тогда оно верно и при n = k + 1 (при этом используем результат примера 21):

Приведённое выше рассуждение показывает, что наше равенство верно не только при n = 1, но и при n = 2, n = 3 и т. д., т. е. при всех n.

Пример 23. Доказать, что при всех n справедливо равенство

Вы легко убедитесь в этом, воспользовавшись описанным методом.