Апология математики (сборник статей)

Указанный смысл нуждается в дальнейшем уточнении. Ведь понятие формального доказательства осмысленно лишь тогда, когда предъявлены аксиомы и правила вывода. Достаточно взять любое утверждение и включить его в число аксиом – и оно тут же сделается доказуемым формально. Чтобы не осложнять изложение, ограничимся ситуациями, при которых ни одно утверждение, не являющееся истинным, не может оказаться доказуемым (для этого достаточно, чтобы аксиомы выражали истинные утверждения, а правила вывода сохраняли истинность). Тогда точная, хотя и требующая разъяснений, формулировка теоремы Гёделя такова: если язык достаточно богат, то какой бы список аксиом и какой бы список правил вывода ни были предъявлены, в этом языке найдётся истинное утверждение о натуральных числах, не имеющее формального доказательства.

Жанр очерка не позволяет дать предложенной «точной» формулировке исчерпывающих объяснений. Но некоторые намётки всё же сделаем.

Под утверждениями о натуральных числах понимаются такие, которые помимо общелогических понятий (вроде 'и', 'если… то', 'существует', 'равно' и т. п.) используют в своих формулировках лишь натуральные числа и операции сложения и умножения.

Под достаточным богатством языка понимается его способность выражать некоторые утверждения о натуральных числах. Чтобы было понятно, чтó имеется в виду, заметим, что тот язык, на примере которого выше демонстрировался формальный аксиоматический метод, является «бедным»: в нём можно выразить лишь очень простые утверждения о натуральных числах, а именно такие утверждения, которые можно сформулировать, используя лишь обозначения чисел (т. е. нумералы), переменные x и y, операцию «'» и общелогические понятия «равно», «существует», «неверно, что», «если… то»). Богатство же языка означает его способность выражать более сложные утверждения о числах: требуется, чтобы для любого перечислимого множества натуральных чисел в языке имелась формула, выражающая принадлежность к этому множеству натурального числа. Дальнейшие объяснения потребовали бы изложения основ математической логики и теории алгоритмов, а потому здесь мы остановимся.

Семь размышлений на темы философии математики

1. Действительно ли в математике всё определяется и доказывается?

Математики, как правило, очень гордятся тем, что они математики. Источник гордости они видят в своей науке: причём не столько в той пользе, которую приносит математика, сколько в том, что это такая уникальная, ни на какую другую не похожая область знаний. И с этой исключительностью согласны и нематематики (так что величие математиков, к удовольствию этих последних, осознаётся не только ими самими, но и окружающими). В самом деле, считается общепризнанным, что математика имеет по крайней мере три присущие только ей черты. Во-первых, в математике, в отличие от других наук, все понятия строго определяются. Во-вторых, в математике – опять-таки в отличие от других наук – всё строго доказывается из аксиом. В-третьих, математика непонятна в такой вызывающей уважительный трепет степени, какая недоступна ни одной другой науке. Непонятна даже в школе (репетиторов по математике едва ли не больше, чем по всем другим школьным предметам, вместе взятым). А уж о современной математической науке и говорить нечего: достаточно раскрыть любую монографию, а тем более журнальную статью. (Заметим, что третья из перечисленных черт вступает в известное противоречие с первыми двумя, хотя над этим мало кто задумывается.)

Когда что-то общеизвестно, закрадывается подозрение, не миф ли это (ведь общественное мнение обладает автономным механизмом самоподдержания). Постараемся непредвзятым, по возможности, образом критически рассмотреть три только что названные общеизвестные черты математики.

Тогда, во-первых, обнаружим, что определить все математические понятия невозможно. Одно определяется через другое, другое – через третье и т. д.; где-то мы должны остановиться. («Портной учился у другого, другой у третьего, да первоет портной у кого же учился?» – справедливо замечает г-жа Простакова.) Рассказывают, что известный одесский математик С. И. Шатуновский, приводя определение всё новых и новых понятий в ответ на повторные вопросы «А что такое то-то и то-то?», наконец не выдерживал и сам спрашивал: «А что такое "что такое"?»