Апология математики (сборник статей)

Давайте задумаемся о принципах толкования слов в словаре какого-либо языка – русского, английского и т. д. В нём одни слова определяются через другие, другие – через третьи и т. п. Но поскольку слов в языке конечное число, то неизбежно возникает круг (т. е. ситуация, в которой слово определяется в конечном счёте через само себя)[143]. Избежать такого круга можно лишь одним способом: оставить некоторые слова без объяснений. В некоторых словарях так и делают[144]. Так же, разумеется, обстоит дело и с понятиями математики. А именно: если только не допускать порочного круга, некоторые понятия должны остаться без определения. Спрашивается, как же могут быть усвоены эти понятия. Ответ: из непосредственного наблюдения, из опыта, из интуиции. Нет нужды напоминать, что формирование общих, абстрактных понятий в мозгу человека – сложный процесс, принадлежащий более психологии, нежели логике. Эти понятия, усваиваемые не из словесного определения, а из непосредственного личного опыта, естественно называть первичными понятиями, или категориями, математики. К числу таких категорий относятся, например, понятия точки, прямой, множества, натурального числа.

При составлении перечня (который вряд ли может быть вполне определённым) категорий (первичных понятий) математики следует соблюдать известную осторожность. Иначе число первичных понятий будет неоправданно велико в нарушение принципа «бритвы Оккама». В самом деле, возьмём, например, такое понятие, как шар. Шар, как известно, есть геометрическое место точек пространства, чьё расстояние от одной определённой точки (центра шара) не превосходит определённой величины (радиуса шара). Однако вряд ли кто-нибудь впервые узнаёт, что такое шар, из этого определения. Надо полагать, что человек усваивает понятие шара в детстве – на примере мяча, глобуса, шарика из подшипника и бильярдного шара. Приведённое выше определение он узнаёт лишь на уроках в школе. При этом отнюдь не всегда учащемуся удосуживаются объяснить, что тот шар, который он знает с раннего детства, и тот шар, который он изучает в школе, – это одно и то же. В результате и возникает представление, что «у них в физике и математике всё наоборот. Может быть, у них и шар пойдёт вверх»[145]. Но следует ли на основании того, что понятие шара узнаётся из опыта, а не из словесной формулировки, считать понятие шара неопределяемым, одной из категорий математики? Вероятно, нет.

Казалось бы, дело обстоит яснее с более сложными и дальше отстоящими от опыта понятиями математики, такими, например, как понятие группы – уж это-то понятие никак не отнесёшь к числу первичных. Однако формирование понятия группы в умах профессионалов-математиков, возможно, не слишком отличается от образования понятия шара в умах людей вообще (как математиков, так и нематематиков): как понятие шара возникает в результате многочисленного рассмотрения различных шаров, так и понятие группы возникает в результате рассмотрения конкретных групп, а уж потом это понятие закрепляется в словесной формулировке (здесь, разумеется, речь идёт о возникновении понятия группы в коллективном опыте математиков, а не в опыте отдельного математика). Поэтому характерным признаком первичности (категориальности) понятия надлежит считать не способ его возникновения, а способ сообщения сведений о нём при передаче системы знаний. Для разъяснения сказанного представим себе, что носитель некоторой системы знаний – в нашем случае знаний о математике – должен передать свои знания другому. Тогда он может сообщить другому, что такое шар или что такое группа, пользуясь словесным определением соответствующего понятия. И потому эти понятия не категориальные. Если же нужно сообщить, что такое множество, прямая или натуральное число, то это делается по-другому. Говорится примерно так: все стулья в этой комнате составляют множество, и все страусы за полярным кругом составляют множество, и все иррациональные числа отрезка [0, 1] составляют множество. И далее после приведения достаточного числа примеров говорится: «Всё это множества», – и так возникает общее понятие множества. Аналогично говорится: «Ноль, один, два, три, четыре, пять и т. д. – всё это натуральные числа», – и так возникает общее понятие натурального числа. (Мы видим, что при объяснении понятия натурального числа явно или неявно присутствуют слова «и так далее», иначе и не может быть для первичных понятий: указывается достаточное количество примеров, а дальше – «и т. д.»)