Апология математики (сборник статей)

Сказанное не следует воспринимать как критику в адрес Н. Бурбаки и других авторов, предлагающих аналогичные формулировки. Разумеется, они, как и все люди, имеют априорное представление о натуральном числе (априорное, конечно же, по отношению к предлагаемому определению, но не к опыту). Они не ставят себе цели дать объясняющее определение понятия натурального числа (т. е. определение, которое могло бы послужить для обучения новичка). Их цель более скромна и более технична – дать определение этому понятию в рамках излагаемой аксиоматической теории множеств.

Можно определить понятие функции через понятие пары, а можно – понятие пары через понятие функции. Ясно, что эти умственные построения имеют мало общего с объяснением непосвящённому, что такое пара и что такое функция. Все предыдущие рассуждения имеют целью подвести к следующей почти очевидной мысли. Оставим в стороне математическую и логическую проблематику, связанную с поисками определения (а правильнее было бы сказать «поисками отражения, моделирования») понятия натурального числа в рамках той или иной аксиоматической теории. Займёмся попытками дать «наивное» объяснение понятия натурального числа, позволяющее незнающему узнать, что это такое. Довольно скоро мы убеждаемся, что такие попытки бесплодны. Натуральное число следует признать первичным, неопределяемым понятием, одной из категорий математики.

Замечание. Читатель был вправе удивиться тому, что мы считаем ноль натуральным числом, тогда как в школе учат, что наименьшим натуральным числом является единица. Дело в том, что на самом деле есть два понятия натурального числа – считательное и количественное. Считательные натуральные числа возникают в процессе пересчёта предметов: один, два, три и т. д. Поэтому наименьшее считательное число есть единица. В начальных классах школы появляются именно считательные числа. Количественное же натуральное число отражает количество предметов конечной совокупности, каковая совокупность может быть и пустой, т. е. не содержать ничего. Поэтому наименьшее количественное число есть ноль (нуль). Вот что писал по этому поводу выдающийся математик Павел Сергеевич Александров (следует учесть, что математики обычно вместо слова «совокупность» употребляют слово «множество», имеющее в математике тот же смысл): «К числу конечных множеств мы причисляем и пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного элемента; число элементов пустого множества есть нуль. Необходимость рассмотрения пустого множества видна из того, что, когда мы определяем тем или иным способом множество, то мы можем и не знать заранее, содержит ли оно хотя бы один элемент. Например, вероятно, множество страусов, находящихся в данный момент за полярным кругом, пусто; однако мы не можем этого утверждать с уверенностью[147], так как, может быть, какой-нибудь капитан и завёз какого-нибудь страуса за полярный круг».

3. Можно ли определить натуральный ряд (с прописной буквы)?