Апология математики (сборник статей)

историческая справка.

Континуум-гипотезу высказал ещё в XIX в. Георг Кантор (1843–1918) – великий немецкий (впрочем, родившийся в Санкт-Петербурге и проведший там первые одиннадцать лет жизни) философ и математик, создатель теории множеств. Он высказал эту гипотезу не как гипотезу, а как положительное утверждение. А именно: в написанной в 1877 г. статье «К учению о многообразиях» [27, с. 257; 29, с. 132] Кантор заявил, что всякое бесконечное множество точек на прямой имеет либо континуальную, либо счётно-бесконечную мощность и что это утверждение устанавливается «с помощью индуктивного рассуждения, которое мы не будем здесь приводить». «Строгое исследование этого вопроса, – завершалась статья, – мы откладываем до другого раза». И действительно, с 1879 г. Кантор начал отдельными порциями публиковать трактат под названием «О бесконечных линейных точечных многообразиях»; эта серия публикаций должна была увенчаться доказательством заявленного утверждения. В шестой публикации [28] названной серии это утверждение и в самом деле было доказано, но лишь для узкого класса множеств (а именно для так называемых замкнутых множеств). Соответствующая теорема была сформулирована в самом конце статьи [28], и её формулировка сопровождалась утверждением, что «эта замечательная теорема» (dieser merkwürdige Satz) остаётся справедливой и для произвольных множеств и что это будет доказано в последующих параграфах трактата. Таким образом, Кантор, во-первых, доказал, что не существует такого количества, промежуточного между счётно-бесконечным и континуальным, которое служило бы количеством элементов какого-либо замкнутого множества на прямой линии, а также, во-вторых, обещал предъявить доказательство более сильного утверждения, а именно: что ни для какого (а не только замкнутого) множества точек на прямой линии количество этих точек не может быть промежуточным. Статье [28], завершённой 15 ноября 1883 г., суждено было стать последней в серии. Кантор обнаружил, что не в состоянии выполнить своё обещание, поскольку не располагает доказательством для общего случая. Это осознание имело драматические последствия. В мае 1884 г. Кантора постиг первый приступ нервной болезни. Через месяц приступ прошёл, но болезнь уже не отпускала свою жертву, а с 1899 г. приступы участились. После 1897 г. Кантор уже ничего не публиковал, а в 1918 г. умер в нервной клинике.