Апология математики (сборник статей)

Современные эксперты сходятся во мнении, что Ферма на самом деле не обладал доказательством своей теоремы, хотя, возможно, умел её доказывать для двух частных случаев, а именно: для случая, когда показатель степени п равен 3, и для случая, когда этот показатель равен 4. Впервые доказательства для этих двух случаев были опубликованы великим швейцарским и российским математиком Эйлером в XVIII в. Заметим, что из доказательства теоремы Ферма для какого-либо показателя n немедленно вытекает её доказательство для всех показателей, делящихся на n. Таким образом, ещё в XVIII в. теорема была доказана для всех показателей, делящихся на 3 или на 4. Далее теорема Ферма была доказана последовательно для показателей, делящихся на 5 (1825 г.), на 14 (1832 г.), на 7 (1839 г.). К 1978 г. справедливость теоремы Ферма была установлена для всех показателей, меньших 125 000. Однако все эти успехи не позволяют утверждать истинность теоремы Ферма в её полном объёме, т. е. утверждать отсутствие таких положительных целых чисел х, у, z, которые смогли бы удовлетворить уравнению хⁿ + у

ⁿ = zⁿ хотя бы при одном каком-нибудь показателе п, большем чем 2.

Попытки доказать теорему Ферма продолжаются. Теоретически могли бы предприниматься и попытки её опровержения, но этого не происходит. Ситуация с гипотезой, называемой «теоремой Ферма», значительно отличается от той, которая имеет место для континуум-гипотезы, ведь, как мы знаем, доказано, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть (точнее, Гёдель в 1939 г. показал, что её нельзя опровергнуть, а Коэн в 1963 г. – что её нельзя доказать). Для гипотезы (теоремы) Ферма такое доказательство – доказательство того, что её невозможно ни доказать, ни опровергнуть – отсутствует. Спрашивается, доказательство пока отсутствует (и остаётся надежда получить его в будущем) или это в принципе невозможно? Если бы такое доказательство удалось получить, это, несомненно, принесло бы математике большую пользу, поскольку раз и навсегда закрыло бы шлюз для потока безграмотных попыток доказать теорему Ферма[160].

К сожалению, такое доказательство невозможно. И мы сейчас разъясним, почему невозможно. Правда, остаётся теоретическая возможность того, что удастся доказать, что теорему Ферма нельзя доказать. Появление такого доказательства также перекрыло бы вышеназванный шлюз, но тогда, вероятно, возник бы поток попыток опровергнуть теорему Ферма (например, путём предъявления в косвенной форме четвёрок астрономически больших чисел п, х, у, z

, для которых нужное равенство было бы практически непроверяемым).

Итак, предположим:

(а) существует доказательство того, что теорему Ферма нельзя доказать;

(б) существует доказательство того, что теорему Ферма нельзя опровергнуть.

Наша цель теперь – показать, что (а) и (б) несовместимы, т. е. не может быть, чтобы оба эти утверждения были истинны одновременно. На самом же деле мы обнаружим, что (б) несовместимо даже с более слабым, чем (а), утверждением (a₁): теорему Ферма нельзя доказать. А именно, мы покажем, что из (б) следует: теорема Ферма поддается доказательству, что исключает (a

₁).

Начнём с некоторых предварительных комментариев. Всякую четвёрку натуральных чисел п, х, у, z, такую, что n > 2, x > 0, у > 0, z >

0 и хⁿ + уⁿ = zⁿ, условимся называть четвёркой Ферма. Теорема Ферма гласит, что четвёрок Ферма не существует в природе. Опровергнуть какую-либо теорему[161] – это значит доказать истинность противоположного. Опровергнуть теорему Ферма – значит доказать, что четвёрки Ферма существуют.