Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Любопытно, что абсолютно неважно, сколько в нем зависимых переменных. Пока независимая переменная одна, уравнение считается обыкновенным. Например, для определения положения космического корабля в трехмерном пространстве нужны три числа: назовем их x, y и z. Они указывают, где (слева-справа, вверху-внизу, впереди-сзади) находится корабль относительно некоторой произвольной точки, именуемой началом координат, или точкой отсчета. Поскольку корабль движется, то x, y и z меняются в зависимости от времени. Таким образом, они являются функциями времени. Чтобы подчеркнуть это, мы могли бы записать их в виде x

(t), y(t) и z(t).

Обыкновенные дифференциальные уравнения идеально подходят для дискретных систем, состоящих из одного или нескольких тел. Они могут описывать движение космического корабля, входящего в атмосферу; маятника, раскачивающегося вперед и назад; или одной планеты, обращающейся вокруг Солнца. Загвоздка в том, что нам нужно представить любой объект в идеализированном виде – как точку, бесконечно малый объект без пространственной протяженности. Тогда мы можем считать его точкой с координатами x, y

и z. Аналогичный подход срабатывает, когда имеется много точечных частиц: армада крохотных космических кораблей, цепочка маятников, соединенных пружинами, Солнечная система из восьми или девяти планет и бесчисленного количества астероидов. Все такие системы описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

За столетия после Ньютона математики и физики разработали множество оригинальных способов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и, соответственно, прогнозирования систем реального мира, которые они описывают. Эти методы включали развитие идей Ньютона о степенных рядах, идей Лейбница о дифференциалах, хитроумные преобразования, которые позволяют применять основную теорему анализа, и так далее. Это масштабная индустрия, и она продолжает функционировать по сей день.

Однако не все системы дискретны – по крайней мере, не все из них следует рассматривать таким образом, как мы видели на примере гитарной струны. Следовательно, не все системы можно описать обыкновенными дифференциальными уравнениями. Чтобы понять, почему, давайте посмотрим на воображаемую тарелку супа, остывающего на кухонном столе.

Конечно, тарелка супа на каком-то уровне представляет дискретное множество хаотично двигающихся молекул. Однако нет никаких возможностей их рассмотреть, измерить или иным образом количественно выразить их перемещения, поэтому никому не приходит в голову использовать обыкновенные дифференциальные уравнения для модели охлаждения супа. Придется иметь дело со слишком большим количеством частиц, движение которых нерегулярно, беспорядочно и неизвестно.

Гораздо удобнее думать о супе как о континууме. Это не совсем верно, но разумно. При аппроксимации континуумом мы считаем, что суп существует в каждой точке трехмерного объема тарелки. Температура T в определенной точке (x, y, z

) зависит от времени t. Вся эта информация содержится в функции T. Как мы вскоре убедимся, существуют дифференциальные уравнения для описания того, как эта функция меняется во времени и пространстве. Такое уравнение уже не будет обыкновенным дифференциальным уравнением, ведь в нем не одна независимая переменная, а фактически четыре – t, x, y и z. Это новый зверь – уравнение в частных производных[285]

, названное так потому, что производные берутся по отдельным переменным.

Уравнения в частных производных намного разнообразнее обыкновенных. Они описывают непрерывные системы, движущиеся и изменяющиеся одновременно в пространстве и времени или в двух или нескольких измерениях пространства; провисшую форму гамака, распространение загрязняющего вещества в озере или поток воздуха над крылом истребителя.

Такие уравнения крайне трудны в решении, на их фоне обыкновенные дифференциальные уравнения, которые сами по себе тоже сложные, кажутся детской забавой. Но они чрезвычайно важны. Наша жизнь зависит от них каждый раз, когда мы поднимаемся в небо.

Дифференциальные уравнения в частных производных и Boeing 787

Полет современного самолета – это чудо математического анализа. Но так было не всегда: на заре авиации первые летательные аппараты создавали по аналогии с птицами и воздушными змеями, применяя инженерную смекалку и метод проб и ошибок. Например, братья Райт для разработки системы управления аэропланом в полете и преодоления присущей ему неустойчивости опирались на свои знания о велосипедах.

Однако по мере совершенствования конструкции самолетов для их проектирования требовалось применять все более сложные средства. Аэродинамические трубы давали инженерам возможность проверять аэродинамические свойства аппаратов еще на земле. Модели, представлявшие миниатюрные копии реальных самолетов, позволяли проектировщикам проверять пригодность к полетам без создания полномасштабных моделей.