Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Принцип бесконечности и основная теорема анализа потребовались Ньютону еще в одном отношении. При первом подходе к задаче двух тел он идеализированно представлял Солнце и планету точечными объектами. Мог ли он смоделировать их более реалистично – как колоссальные сферические объекты, коими они на самом деле и есть, – и все равно решить задачу? А если бы мог, изменились бы при этом результаты?

Это были крайне трудные вычисления при уровне развития анализа в те времена. Только представьте, что потребуется, чтобы найти чистое притяжение колоссального шара Солнца и меньшего, но все равно гигантского шара Земли. Каждый атом Солнца притягивает каждый атом Земли. Сложность в том, что все атомы находятся на разных расстояниях друг от друга. Атомы в дальней половине Солнца оказывают более слабое гравитационное воздействие на Землю, чем атомы в ближней половине. Более того, атомы в левой и правой половинах Солнца тянут Землю в разных направлениях и с разной силой в зависимости от их собственного расстояния от нашей планеты. Все эти воздействия нужно сложить. Свести воедино все части задачи было сложнее, чем все когда-либо ранее сделанное в интегральном исчислении. Сегодня же мы ее решаем с помощью пугающего тройного интеграла.

Ньютону удалось справиться с тройным интегралом и обнаружить нечто настолько красивое и простое, что даже сегодня оно кажется почти невероятным. Он установил, что можно безнаказанно считать, будто вся масса сферического Солнца сосредоточена в его центре, и то же самое верно для Земли. Его вычисления показали, что орбита планеты в любом случае будет одной и той же. Иными словами, он мог заменить гигантские шары бесконечно малыми точками, не допуская при этом никакой ошибки. Воистину ложь, раскрывающая правду!

Однако в расчетах Ньютона содержались другие приближения, влияние которых было более серьезным и проблематичным. Ради простоты он полностью проигнорировал гравитационное воздействие остальных планет. К тому же он продолжал считать, что гравитация действует мгновенно. Он знал, что оба допущения не могут быть верными, но без них ничего не получалось. Ньютон также признавался, что не имеет понятия, что собой представляет гравитация и почему она подчиняется математическому описанию, которое он дал. Он понимал, что критики отнесутся с подозрением ко всей его программе. Чтобы сделать работу максимально убедительной и доходчивой, он изложил ее на языке геометрии – золотом стандарте строгости, принятом в то время. Но это была не традиционная евклидова геометрия, а своеобразная неповторимая смесь классической геометрии и анализа. Это был анализ в геометрических одеждах.

Тем не менее он сделал все возможное, чтобы придать работе классический вид. Стиль его «Начал» приближен к евклидовым «Началам». Следуя формату классической геометрии, Ньютон начинает с аксиом и постулатов – своих законов движения и тяготения – и рассматривает их как базовые камни фундамента. На их основе он строит здание из лемм, предложений, теорем и доказательств, выведенных друг из друга с помощью логики и составляющих неразрывную цепочку вплоть до исходных аксиом. Так же как Евклид подарил миру свои бессмертные тринадцать книг «Начал»[268], так и Ньютон дал миру три собственные книги. Без ложной скромности третью он назвал «Системой Мира».

Его система рисовала природу в виде механизма. В последующие годы ее часто будут сравнивать с часовым механизмом, его вращающимися шестеренками и растягивающимися пружинами: все части последовательно двигаются – настоящее чудо причины и следствия. Применяя основную теорему анализа, вооружившись степенными рядами, изобретательностью и удачей, Ньютон мог точно решать свои дифференциальные уравнения. Вместо того чтобы двигаться вперед момент за моментом, он мог совершить существенный скачок и предсказать положение своего часового механизма далеко в будущем, как делал в задаче двух тел для планеты, вращающейся вокруг Солнца.

Спустя столетия после Ньютона его систему усовершенствовали многие математики, физики и астрономы. Ей настолько доверяли, что, когда движение планет не согласовывалось с прогнозами, астрономы полагали, что упускают что-то важное. Именно так в 1846 году был открыт Нептун[269]. Неправильности в орбите Урана наводили на мысль о наличии за ним неизвестной планеты – невидимого соседа, который вносит гравитационные возмущения в движение Урана. Расчеты предсказали положение предполагаемой планеты, и когда астрономы направили туда телескоп, там она и оказалась[270]

.

Ньютон и «Скрытые фигуры»

К середине XX века казалось, что физика окончательно отошла от ньютоновской механики. Квантовая теория и теория относительности отправили старую рабочую лошадку на покой. Но даже тогда она получила последнее «ура» благодаря космической гонке США и СССР.