Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Хотя Ковалевская рано проявила склонность к математике, российские законы не позволяли ей поступить в университет. Она вступила в фиктивный брак, который причинил ей много страданий в последующем, но, по крайней мере, позволил выехать в Германию[318], где она поразила своим талантом нескольких профессоров. Однако даже там Ковалевской официально не разрешали посещать занятия. Она договорилась о частных уроках с Карлом Вейерштрассом и по его рекомендации была удостоена докторской степени за решение нескольких важных задач в анализе, динамике и уравнениях в частных производных. В конце концов она стала профессором Стокгольмского университета и преподавала там восемь лет, однако в 41 год умерла от воспаления легких. В 2009 году лауреат Нобелевской премии Элис Манро опубликовала о ней рассказ под названием «Слишком много счастья».

Взгляды Ковалевской на границы детерминизма сформировались вследствие ее работ по динамике твердых тел. Твердое тело – это математическая абстракция объекта, который нельзя согнуть или деформировать; все его точки жестко соединены друг с другом. Примером может служить волчок. Это твердое тело, состоящее из бесконечного количества точек, а потому более сложный механический объект, чем одноточечные частицы, которые рассматривал Ньютон. Движение твердых тел важно для астрономии – так описываются самые разные явления, от хаотического кувыркания Гипериона[319]

, маленького спутника Сатурна, похожего на картофелину, до размеренного вращения капсулы космического корабля или спутника.

Изучая динамику твердых тел, Ковалевская получила два важных результата. Первый относился к вращению тела, движение которого можно проанализировать полностью, – так же как Ньютон решил задачу двух тел. Два случая разрешимости задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки были уже известны; Ковалевская нашла третий.

Еще важнее было доказательство, что других разрешимых случаев не существует: она нашла последний. Все остальные не поддаются интегрированию, то есть их динамику нельзя определить с помощью формул в духе Ньютона. И проблемы тут не в недостаточной искусности; Ковалевская доказала, что просто не может существовать формул определенного вида (на математическом языке – мероморфной функции времени), которые могли бы описать вращение тела. Таким образом, она ограничила возможности анализа. Если даже вращающийся волчок мог бросить вызов демону Лапласа, никакой надежды – даже в принципе – найти формулу судьбы Вселенной не было.

Нелинейность

Неразрешимость, обнаруженная Софьей Ковалевской, связана со структурой уравнений для вращающегося твердого тела: эти уравнения нелинейны.

Здесь нас не интересует технический смысл нелинейности. Для наших целей достаточно ощутить разницу между линейными и нелинейными системами, а для этого рассмотрим несколько примеров из повседневной жизни.

Чтобы проиллюстрировать, на что похожи линейные системы, предположим, что на весах одновременно взвешиваются два человека – просто ради смеха. Их общая масса будет суммой отдельных масс. Причина в том, что весы – это линейное устройство. Массы людей не взаимодействуют друг с другом и не делают ничего заковыристого, о чем нам следовало бы знать. Например, тела не сговариваются друг с другом, чтобы выглядеть легче, и не вредят друг другу, чтобы казаться тяжелее. Массы просто складываются. В линейной системе, подобной весам, целое равно сумме частей. Это первое ключевое свойство линейности. Второе свойство – причины пропорциональны следствиям. Представьте, что вы натягиваете тетиву лука. Чтобы оттянуть ее на определенное расстояние, требуется определенная сила, а чтобы расстояние увеличилось вдвое, нужно приложить вдвое больше силы. Причина и следствие пропорциональны. Эти два свойства – пропорциональность между причиной и следствием и равенство целого сумме частей – суть того, что значит быть линейным.

Однако многое в природе устроено гораздо сложнее. Когда части системы взаимодействуют, сотрудничают или конкурируют друг с другом, происходят нелинейные взаимодействия. Большая часть нашей повседневной жизни нелинейна: если вы одновременно станете слушать две любимые песни, то не получите двойного удовольствия. То же касается употребления алкоголя или лекарственных препаратов, где эффект взаимодействия может даже привести к смерти. Напротив, сочетание арахисового масла и джема прекрасно. Они не просто складываются – они усиливают воздействие друг друга[320].

Нелинейность отвечает за богатство мира, его красоту и сложность, а нередко и непостижимость. Например, вся биология нелинейна, как и социология. Вот почему гуманитарные науки сложны и математизируются в последнюю очередь.