Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

В начале 1970-х американский математик Брок Фуллер дал первое математическое описание трехмерного искажения ДНК. Он предложил величину, которую назвал индексом сверхспирализации ДНК[309], и вывел для нее формулы, используя производные и интегралы, а также доказал ряд теорем об этой величине, которые формализовали закон сохранения для скручиваний и колец спирали. С тех пор изучение геометрии и топологии ДНК[310]

 – процветающая область науки. С помощью теории узлов математики[311] выяснили механизмы определенных ферментов, которые могут скручивать ДНК, разрезать ее, вносить в нее узлы или связи. Такие ферменты изменяют топологию ДНК и поэтому называются топоизомеразами. Они могут разорвать нити ДНК и снова восстановить их и важны для деления и роста клеток. Они оказались эффективными мишенями для химиотерапевтических препаратов против рака[312]. Механизм действия не вполне ясен, но считается, что такие препараты (ингибиторы топоизомеразы), блокируя действие топоизомеразы, могут селективно повреждать ДНК раковых клеток, что заставляет их совершать самоубийство. Хорошие новости для пациента, плохие – для опухоли.

При применении анализа к сверхспиральной ДНК двойная спираль молекулы считается непрерывной кривой. Как обычно, анализ работает с непрерывными объектами. В реальности это только модель: ДНК – дискретный набор атомов и в ней нет ничего непрерывного. Однако при хорошем приближении ее можно рассматривать как непрерывную кривую, как идеальную резиновую ленту. Преимущество такого подхода – возможность применять аппарат теории упругости и дифференциальной геометрии, двух отпочковавшихся ветвей анализа, чтобы вычислять, как ДНК деформируется под воздействием сил со стороны белков, окружающей среды и при взаимодействии с собой.

Более важный момент заключается в том, что анализ, как обычно, проявляет творческий подход, обращаясь с дискретными объектами как с непрерывными, чтобы пролить свет на их поведение. Такое моделирование приближенное, но весьма полезное. В любом случае это единственный возможный вариант. Без предположения о непрерывности нельзя применить принцип бесконечности. А без него нет ни анализа, ни дифференциальной геометрии, ни теории упругости.

Я ожидаю, что в будущем мы увидим еще больше примеров непрерывного применения анализа и математики к принципиально дискретным биологическим объектам: генам, клеткам, белкам и прочим актерам на биологической сцене. Слишком много можно получить от приближения континуумом, чтобы отказаться им пользоваться. Пока мы не разработаем новую форму анализа, которая будет работать для дискретных систем так же хорошо, как традиционный анализ для континуумов, при математическом моделировании жизни нас по-прежнему будет направлять принцип бесконечности.

Детерминизм и его пределы

Наши следующие две темы – развитие нелинейной динамики и влияние компьютеров на анализ. Я выбрал их потому, что они весьма интригующи с философской точки зрения, поскольку могут навсегда изменить природу прогнозирования и привести к новой эпохе в анализе – и в науке в целом, – где человеческая проницательность может начать угасать, хотя наука сама по себе все еще будет развиваться. Чтобы прояснить, что я имею в виду под этим несколько апокалиптическим предупреждением, нам нужно понять, как вообще возможно предсказание, что оно означало классически и как наши классические представления пересматриваются в связи с открытиями, сделанными за последние десятилетия в нелинейных системах, хаосе и сложных системах.

В начале 1800-х французский математик и астроном Пьер-Симон Лаплас[313] довел детерминизм ньютоновской вселенной в виде часового механизма до логического завершения. Он представил богоподобный интеллект (сегодня именуемый демоном Лапласа), который мог бы отследить положение всех атомов во Вселенной и всех действующих на них сил. Он писал: «Будь такой разум также достаточно обширен, чтобы подвергнуть эти данные анализу… для него ничего не было бы неясного, и будущее существовало бы в его глазах точно так же, как прошлое»[314]

,[315].

По мере приближения к XX веку такая экстремальная формулировка определения Вселенной как часового механизма стала казаться с научной и философской точек зрения несостоятельной сразу по нескольким различным причинам. Одна из причин была обусловлена анализом, и мы должны благодарить за это Софью Ковалевскую[316]. Ковалевская родилась в 1850 году и выросла в аристократической семье в Москве. Когда ей было одиннадцать лет, она обнаружила, что буквально окружена анализом, поскольку стена ее спальни была оклеена листами из курса лекций, которые ее отец посещал в юности. Позднее она писала, что «в детстве проводила целые часы перед этой таинственной стеной, пытаясь разобрать хоть отдельные фразы и найти тот порядок, в котором листы должны следовать друг за другом»[317]. Она стала первой в истории женщиной – профессором математики.