Быстрая математика: секреты устного счета

Фактический ответ, полученный с помощью калькулятора, равен 6202,59. Для практических нужд наше приближенное значение можно считать достаточно точным. Если же мы все-таки желаем получить точный ответ, тогда метод, который я представлю вашему вниманию в следующей главе, является самым простым из всех известных мне.

Пока же решите нижеприведенные примеры самостоятельно. Попробуйте решить некоторые из них в уме.

a) √1723 = __; б) √2600 = __; в) √80 = __; г) √42 = __; д) √5132 = __; е) √950 = __; ж) √2916 = __; з) √1225 = __

Ответы:

а) 41,5; б) 50,99; в) 8,94; г) 6,48; д) 71,64; е) 30,82; ж) 54; з) 35

Когда число чуть меньше квадрата другого числа

Чем точнее мы подбираем приближение для квадратного корня, тем точнее будет окончательный ответ. Поэтому нам необходимо подбирать число в качестве приближения как можно ближе к истинному значению квадратного корня.

В примерах, которые мы только что разобрали, числа были чуть больше квадрата числа, выбранного нами в качестве первого приближения. Так, в одном из примеров для самостоятельного решения 2600 являлось чуть больше 50 в квадрате (2500), и мы использовали 50 в качестве первой оценки.

Ниже рассматривается случай, когда исходное число чуть меньше квадрата числа — первого приближения. Для получения более точного ответа, вместо того чтобы выбирать в качестве первого приближения число с квадратом, меньшим исходного числа, можно выбирать число, у которого квадрат больше исходного числа (при условии, конечно, что это приведет нас к более точному ответу).

Например:

√2400 =

Разобьем число на пары цифр:

Выбираем в качестве приближения квадратного корня из 24 число 5, поскольку 24 ближе к квадрату 5 (25), чем к квадрату 4 (16). Таким образом, нашим первым приближением квадратного корня из 2400 является 50.

Теперь делим 2400 на 50. Чтобы разделить на 50, делим сначала на 100, а потом удваиваем полученный ответ (50 = 100: 2).

2400

: 100 = 24

24 х 2 = 48

Разделим пополам разницу между 48 и 50.

50 – 48 = 2

2: 2 = 1

Прибавление 1 к 48 дает наш ответ: 49.

Калькулятор дает следующее значение искомого корня: 48,98979. Наша ошибка составила примерно 0,02 процента.

Разберем еще один пример:

√6300 =

Разобьем попарно цифры:

Наше приближение для первой пары цифр равняется 8, поскольку 63 гораздо ближе к 8 в квадрате (64), чем к 7 в квадрате (49). Итак, наше первое приближение для корня из числа 6300 равно 80.

Делим сначала на 10, потом на 8:

6300: 10 = 630

630: 8 = 78,75

Теперь найдем среднее между 78,75 и 80. Можно вычесть 78,75 из 80, взять половину ответа и вычесть ее из 80.

Есть хорошая новость: имеется более короткий путь!

Короткий способ

Речь идет о нахождении среднего значения для двух чисел.

Чтобы найти такое среднее для 78,75 и 80, сложим их (158,75) и разделим сумму пополам.

Короткий способ состоит в следующем. Мы знаем, что ответ является «семьюдесятью с чем-то», поэтому 7 — это первая цифра ответа. Теперь припишите 1 слева от 8,75 (получая 18,75) и делите пополам. Никаких операций сложения и вычитания больше не потребуется.

Половина от 18 — это 9. Припишите 9 справа к 7 и получите 79. Половина от 75 — это 35,5. Ответом, таким образом, является 79,375. Округляем в меньшую сторону и получаем 79,37.

Фактическим ответом является 79,3725, и это означает, что наша ошибка составила 0,003 процента. Если бы мы использовали в качестве первой оценки число 70, нашим ответом являлось бы 80.

Чем обусловлен этот короткий способ? Чтобы найти среднее для двух чисел (78,75 и 80), мы должны сложить их и взять половину от суммы:

78.75 + 80 = 158,75

158,75: 2 = 79,375

Разделив 15 на 2, мы получаем в ответе 7 и переносим остаток 1 к цифре 8, получая 18. В рассмотренном коротком способе мы просто опустили эту часть вычислений.

Более высокая точность

Если мы хотим вычислять с большей точностью, можно повторить процедуру, используя полученный ответ в качестве второй оценки.

Для демонстрации метода возьмем самый первый пример, приведенный в этой главе:

√56 =

Нашим первым приближением является 7 (7 х 7 = 49).

56: 7 = 8

8 – 7 = 1 (разница)

1: 2 = 0,5

7 + 0,5 = 7,5

Теперь повторим процесс. Разделим 56 на 7,5. Данная операция не составляет труда. Это то же самое, что 112: 15 или 224: 30. Если мы удваиваем и делимое, и делитель, результат деления не изменяется.

224 легко делится на 30. Делим сначала на 10 (22,4), а потом на 3.

224: 30 = 7,4667

Можно использовать наш короткий способ для нахождения среднего значения. Мы знаем, что первой частью ответа является 7,4. Приписываем остаток 1 спереди к 667 и получаем 1667. Делим это число на 2:

1667: 2 = 833,5

Приписываем 833 к 7,4 справа, получая ответ: 7,4833. Все цифры данного ответа соответствуют точному значению квадратного корня из 56.

Вообще, всякий раз повторяя данный процесс, мы удваиваем количество точных цифр в ответе.

Разберем еще один пример.

Одним из упражнений на вычисления в уме в этой главе была задача на извлечение квадратного корня из 500. Продолжим вычислять в уме, но попробуем при этом увеличить точность ответа.