Быстрая математика: секреты устного счета

9 – 2 = 7

Если бы ответ был правильным, мы получили бы равенство и у чисел-подстановок. Однако мы опять получаем заведомо ложное равенство:

2 х 3 = 7

Выбрасывание одиннадцати позволило определить ложность ответов в обоих рассмотренных случаях, тогда как выбрасывание девяток привело бы нас к выводу, что ответы являются правильными.

Рассмотрим еще один пример:

1,3 х 14 = 18,2

В числе 1,3 цифра 1 находится на нечетном месте, являясь цифрой, от которой ведется отсчет, то есть первой, а цифра 3, соответственно, — на четном.

Вычитаем 3 из 1. Поскольку 1 меньше 3, прибавляем 11.

11 + 1 = 12

Теперь можно вычесть 3 из 12.

12 — 3 = 9

Вычитаем 1 из 4, чтобы узнать остаток для числа 14.

4 – 1 = 3

В ответе (18,2) цифры 1 и 2 находятся на четных местах, а цифра 8 — на нечетном.

1 + 2 = 3

8 – 3 = 5

Наша задача выглядит так:

9 х 3

= 5

9 на 3 — 27. Чтобы найти число-подстановку для 27, вычитаем 2 из 7.

7 минус 2 равно 5, что совпадает с нашим контрольным числом.

Если бы мы получили в ответе 1,82 или 182, выбрасывание девяток не позволило бы определить ошибку.

Найдите остаток от выбрасывания одиннадцати для следующих чисел:

а) 123; б) 5237; в) 716; г) 625174; д) 2156; е) 8137

Ответы:

а) 2; б) 1; в) 1 (12, затем 1); г) 0; д) 0; е) 8

Если вы не запомнили, как находить остаток от выбрасывания одиннадцати, вернитесь назад и перечитайте описание. Метод стоит потраченных усилий.

Теперь вы, вероятно, вполне в состоянии использовать метод на практике. Ниже вам предлагаются примеры для самостоятельного решения. Проверьте ответы.

а) 17 х 17 = 289; б)154 х 23 = 3542; в) 32 х 41 = 1312; г) 46 х 42 = 1942

Один из ответов является неправильным. Я не скажу вам какой. Замечу только, что выбрасывание девяток также позволит определить ошибку. Попробуйте выполнить двойную проверку.

Используя любой из описанных методов, будь то выбрасывание девяток или одиннадцати, я иногда предпочитаю выполнять дополнительную проверку, а именно — путем оценки приближенного значения, получаемого в ответе.

Все эти методы являются очень полезными, особенно если вы работаете с числами в школе или на рабочем месте.

Глава 17

Приближенное значение квадратного корня

При возведении числа в квадрат мы умножаем его на самого себя. Например, 4 в квадрате равно 16, поскольку 4, умноженное на 4, дает 16.

Нахождение квадратного корня — это процесс, обратный возведению в квадрат. Чтобы найти квадратный корень из числа 16, необходимо определить число, которое, будучи умноженным на самого себя, даст в результате 16. Ответом, разумеется, является 4. Подобным образом квадратным корнем из 25 является 5, поскольку 5 на 5 будет 25.

Каким будет квадратный корень из 64? Ответом служит 8, поскольку 8 х 8 = 64.

А как насчет квадратного корня из 56? Здесь задача потруднее, поскольку целого числа в качестве квадратного корня из 56 не существует. 7 на 7 дает 49, которое меньше, чем 56, а 8 на 8 будет 64, которое больше, чем 56. Ответ, таким образом, находится где-то между 7 и 8. Оценку величины квадратного корня мы проводим следующим образом. Выбираем то число, чей квадрат чуть меньше числа, с которым мы работаем — в данном случае 56, — и делим второе на первое.

В рассматриваемом случае берем 7, чей квадрат (49) чуть меньше 56. 8, к примеру, не годится на данную роль, поскольку его квадрат (64) больше, чем 56.

Теперь делим 56 на 7 и получаем в ответе 8.

Берем среднее между 7 и 8. Таким средним является 7,5. (Один из способов нахождения среднего для нескольких чисел состоит в том, чтобы разделить сумму этих чисел на их количество.) Данный ответ несколько превышает требуемый, что можно проверить несложным вычислением (7,5 х 7,5 = 56,25). Округление до 7,48 дает более высокую точность.

Рассматриваемый ответ (7,48) является точным до двух знаков после запятой. Наш первый ответ (7,5) является точным до одного знака после запятой. Очень часто такой точности вполне достаточно.

Для обозначения квадратного корня используют символ J~. Его ставят перед числом, из которого желают извлечь квадратный корень. У16 = 4 означает, что квадратный корень из 16 равен 4.

Рассмотрим пример:

√70 =

Прежде всего попытаемся угадать ближайшее число, являющееся округлением искомого корня.

√70 ~= 8 (8 х 8 = 64)

Разделим исходное число на полученное приближенное целое значение.

70: 8 = 8,75

Теперь разделим пополам разницу между первой оценкой (в данном случае числом 8) и результатом деления числа на его первую оценку, то есть 8,75. Разница равна:

8,75 — 8 = 0,75

Разделив пополам эту разницу, получим:

0,75: 2 = 0,375

И наконец, прибавим полученный результат к первоначальной оценке (8):

8 + 0,375 = 8,375

Полученный таким образом ответ всегда будет слегка больше требуемого, поэтому округлим его в сторону уменьшения. В данном случае возьмем в качестве требуемого округления 8,37. Данный ответ вычислен с ошибкой в пределах 0,2 процента.

Попробуем решить еще один пример. Как бы мы вычисляли квадратный корень из 29?

√29 =