Быстрая математика: секреты устного счета

Учителя и родители постоянно напоминали мне, что я всегда должен перепроверять свои решения. Но единственный известный мне способ сделать это — решить задачу заново. Однако если ответ получался другой, откуда мне было знать, в каком случае он являлся правильным? Быть может, задачу я решил верно именно в первый раз, а при повторном решении допустил ошибку? Поэтому приходилось решать задачу в третий раз. Если два ответа из трех сходились, то это, как я рассуждал, вероятно, и был правильный ответ. А что, если я просто-напросто дважды допустил одну и ту же ошибку? Мне посоветовали решать задачу двумя различными способами. Это был дельный совет. Однако на контрольных никому не дают времени на то, чтобы трижды решить одно и то же задание. Если бы кто-нибудь в то время научил меня тому, чему я собираюсь научить вас, я бы, наверное, прослыл математическим гением.

Мне досадно, что этот метод был известен в те времена, но никто меня ему не научил. Он называется суммированием цифр числа, или выбрасыванием девяток. Ниже описано, как он работает.

Числа-подстановки

Чтобы проверить, верный ли получен ответ, мы используем числа-подстановки вместо тех, которые задействованы в примере. Запасные в футбольной или баскетбольной команде служат для подмены игроков во время матча. Нечто подобное мы будем делать и с числами, найдя для них подходящих «запасных». Последние помогут нам проверить, к правильному ли ответу мы пришли с основными числами в задаче.

Рассмотрим это на примере. Допустим, что вы только что перемножили 13 и 14 и получили 182. Надо проверить, правильный ли это ответ.

13 х 14 = 182

Сначала у нас идет число 13. Найдем сумму его цифр и получим первую подстановку:

1 + 3 = 4

4 становится подстановкой для 13.

Следующим числом идет 14. Найдем и ему подстановку, для чего сложим его цифры:

1 + 4 = 5

5 служит подстановкой для 14.

Теперь выполним умножение, используя вместо исходных чисел подстановки:

4 х 5 = 20

20 — это опять двузначное число, поэтому сложим и его цифры и получим наше контрольное число, которое поможет нам определить правильность ответа:

2 + 0 = 2

2 — это контрольное число, служащее для определения правильности ответа.

Если мы верно решили исходный пример, тогда сумма цифр ответа должна совпасть с контрольным числом.

Складываем цифры исходного полученного ответа:

1 + 8 + 2 = 11

11 — это двузначное число, а нам нужно однозначное, поэтому сложим и его цифры:

1 + 1 = 2

2 — это тоже число-подстановка, но на этот раз для проверяемого ответа. Поскольку оно совпало с контрольным числом, пример решен правильно.

Попробуем еще раз, взяв произведение 13 х 15:

13 х 15 = 195

1 + 3 = 4 (подстановка для 13)

1 + 5 = 6 (подстановка для 15)

4 х 6 = 24

24 — двузначное число; для получения однозначного сложим его цифры:

2 + 4 = 6

6 — наше контрольное число.

Теперь, чтобы проверить, правильно ли мы решили пример, сложим цифры исходного полученного ответа.

1 + 9 +

5 = 15

Превратим 15 в однозначное число:

1 + 5 = 6

Поскольку данный ответ совпадает с контрольным числом, можно быть уверенными, что мы не допустили ошибки в решении исходного примера.

Выбрасывание девяток

Есть способ, который позволяет еще больше сократить по времени данную процедуру. Когда бы нам ни встречалось число 9 в наших вычислениях в ходе проверки, можно смело его вычеркивать. В случае предыдущего полученного ответа — 195, — вместо того чтобы находить сумму 1 + 9 + 5, мы могли просто вычеркнуть 9 и складывать уже только 1 + 5, что дало бы в итоге 6. Это никак не сказывается на результате, но позволяет избежать лишней работы и сэкономить время. Такие вещи мне всегда по душе.

А как насчет ответа на первый решенный пример — 182?

Мы складывали 1 + 2 + 8, получили 11, а затем сложили 1 + 1 и получили контрольное число 2. В числе 182 две цифры дают в сумме 9: 1 и 8. Просто вычеркните их, и в результате у вас получится требуемое число 2. И делать ничего не надо.

Решим еще один пример, чтобы посмотреть, как работает метод:

167 х 346 = 57782

1 + 6 + 7 = 14

1 + 4 = 5

С первым числом никакого фокуса не получилось. 5 является подстановкой для 167.

3 + 4 + 6 =

Сразу замечаем, что 3 + 6 = 9, поэтому вычеркиваем 3 и 6, как будто их и не было. Остается 4, которое является подстановкой для числа 346.

Имеются ли девятки или цифры, дающие в сумме 9, в ответе примера, который мы, собственно, и проверяем? Да, есть: 7 + 2 = 9, поэтому вычеркиваем эти цифры. Остальные складываем: 5 + 7 + 8 = 20. Затем 2 + 0 = 2. Это число, служащее подстановкой для ответа.

Я обычно записываю числа-подстановки карандашом над или под множителями в примере. Это могло бы выглядеть следующим образом:

Итак, правильный ли ответ был получен?

Перемножаем числа-подстановки: 5 на 4 дает 20. Сумма цифр в числе 20 равна 2 (2 + 0 = 2). Мы получили число, равное контрольному, поэтому ответ является верным.

Рассмотрим еще пример:

456 х 831 = 368936

Запишем под множителями числа-подстановки: