Честная ложь. Почему мы продолжаем верить в то, что портит нам жизнь

Однако главный посыл этой книги – всегда требуется немного усилий, когда дело касается реализации основной цели восприятия, а именно, улучшения нашей жизни. В долгосрочной перспективе те, кто избегает этих усилий, причинят вред себе и окружающим. Итак, не бойтесь. Я представляю, как вы себя чувствуете, когда на вас наглыми глазами смотрит голая формула. Дайте мне руку, и я проведу вас через дремучий лес чисел.

Оно стоит того.

Байесовские дебри

Указатель пути в числовых дебрях – условно достоверно – просчитать мошенника – восприятие и предрассудки

Чтобы было легче сориентироваться, прямо на входе в числовые дебри пастора Байеса (Вход свободный!) на большом указателе яркой краской начертана формула:

А рядом улыбающийся смайлик. Очень полезно, сразу смекаешь, что к чему.

Что же означают странные знаки в этой диковинной последовательности? Согласно условиям, 4 маленьких «р» – это различные вероятности, а буквы в скобках указывают, какие именно.

«F» – это предположение, что подброшенная монетка была настоящей. «Z» обозначает выпадение решки. Остаются еще странные вертикальные линии. Их следует понимать как «если», вводящее условие вероятности.

p(F|Z) – вероятность того, что играют неподдельной монетой, если она падает решкой вверх. Значение p(F|Z) – это, собственно, цель нашего эксперимента, на основе его мы и будем судить о том, какой была монета. Остаток формулы показывает, как вычислить интересующий нас показатель.

Вторая вероятность в формуле, p(Z|F), – так называемая обратная. То есть вероятность того, что решка выпадает, если монета не поддельная. Как мы уже знаем, она составляет 50 % или 0,5.

Всегда требуется немного усилий, когда дело касается реализации основной цели восприятия, а именно, улучшения нашей жизни. В долгосрочной перспективе те, кто избегает этих усилий, причинят вред себе и окружающим.

Теорема Байеса демонстрирует, что, несмотря на взаимозависимость, обе вероятности не идентичны. Томас Байес и его формула говорят, что мы можем вычислить искомую вероятность из тех, которые нам уже известны. Тогда в зависимости от того, как упадет монета, будет формироваться и наше к ней отношение.

В формуле недостает еще двух выражений – p(F) и p(Z). Это общая вероятность того, что монета настоящая и будет падать решкой вверх. Обе вероятности не имеют вертикальной линии и, значит, ничем не обусловлены. Поскольку в нашем примере у игрока 2 монетки, одна из которых настоящая, а другая поддельная, мы можем легко установить исходное значение p(F). При случайном выборе из двух монет оно составит 50 %: p(F) = 0,5.

p(Z) – вероятность того, что выпадет решка, тоже проста в вычислении. Монета может упасть либо орлом вверх, либо решкой, и если нам больше ничего не известно о ней, то оба варианта одинаково возможны. Таким образом, p(Z) = 0,5.

Теперь, согласно формуле Байеса, вероятность того, что монета не поддельная, если она падает решкой вверх, выражается так: p(F|Z) = 0,5 × 0,5 / 0,5. То есть вероятность остается неизменной. Но мы хотим знать не только, что настоящая монета приземляется решкой вверх, но, прежде всего, с какой из монет мы имеем дело. Применяя формулу Байеса, рассмотрим вероятность для оцинкованной монеты. Следуя той же логике, мы записываем формулу: p(G|Z) = p(G) × p(Z|G) / p(Z). Как и прежде, p(G) и p(Z) равны 0,5 каждая.

Но p(Z|G), то есть вероятность того, что выпадет решка, если подбрасываемая монетка оцинкована, теперь выше. В таком случае это происходит в 3 раза чаще. В среднем в трех из четырех случаев. Таким образом, p(Z) равно ¾ или 0,75. Результат вычисления таков: p(G|Z) = 0,5 × 0,75 / 0,5 = 0,75.

Итак, у нас есть p(G|Z) = 0,75 и p(F|Z) = 0,5. Это единственно существующие возможности в нашем случае, потому что монета либо оцинкована, либо нет. Обе вероятности должны, как и ранее, в сумме давать 1. Для этого мы делим каждое значение на их сумму 0,5 + 0,75 = 1,25.

Так, мы получаем: p(G|Z) = 0,75 / 1,25 = 0,6 и p(F|Z) = 0,5 / 1,25 = 0,4.

Вероятность того, что в нашем примере играла не оцинкованная монета, снизилась с 50 % до 40, при условии, что выпала решка. После броска p(F) = 0,4, а p(G) = 0,6.

Что же произойдет, если мы подкинем эту же монету во второй раз и снова выпадет решка? Всю предварительную работу мы уже проделали. Значения вероятностей остаются прежними, что и в первом раунде, только p(F) и p(G) изменились после первого броска.

Итак, мы имеем: p(F|Z) = 0,4 × 0,5 / 0,5 = 0,4 и p(G|Z) = 0,6 × 0,75 / 0,5 = 0,9. Оба результата делим на их сумму, которая теперь составляет 1,3, и получаем p(F|Z) = 4/13 и p(G) = 9/13, или приблизительно 31 % и 69 %.