Отпрыск древнего боярского рода, восходящего к легендарному литовскому Гедимину и Владимиру Красное Солнышко, Куракин еще с младых ногтей сблизился с великим князем, став непременным товарищем его детских забав. Дело в том, что обер-гофмейстером Павла был граф Никита Иванович Панин, родственник Куракина, ставший после смерти родителя мальчика (1764) его «вторым отцом». Как свидетельствовал Семен Порошин, князь Александр Борисович «почти каждый день у его высочества и обедает и ужинает»; они забавляются также игрой в карты, шахматы и волан.
Дружба Александра с Павлом не прерывалась и во время их пятилетней разлуки: Куракин, как и подобало родовитому отроку, получил образование за границей – сначала в Альбертинской академии (Киль), а затем в Лейденском университете. Между ним и цесаревичем завязывается оживленная переписка. «Как мне приятно видеть, что Ваше высочество удостоивает меня своими милостями», – написал Александр в мае 1767 года. Павел поддерживает контакты с Куракиным и когда тот путешествует по Речи Посполитой, Дании и Германии.
Учеба пошла впрок нашему князю (он овладел несколькими языками, приобрел интерес к наукам и просветительской литературе, к тому же искусился в придворном политесе), но что касается воспитания нравственного… Одно из правил академии, которое студиозусы должны были неукоснительно выполнять, было следующим: «Соблюдайте в жизни целомудрие, умеренность и скромность, избегайте поводов к распутству… Избегайте роскоши, надменности и тщеславия и прочих язв душевных». А этим-то руководством Александр Борисович как раз открыто пренебрегал.
C 1773 года Куракин состоит уже непосредственно при великом князе, став одним из самых преданных ему лиц. Они часто видятся. Причем их дружеские отношения постоянно крепнут. Привязанность Павла к князю еще более укрепляется после того как с позором изгнали другого ближайшего сподвижника цесаревича, графа Андрея Разумовского, оказавшегося соблазнителем его первой жены. В 1776 году именно Куракин сопровождал Павла в Берлин на встречу с его невестой Софией Доротеей (будущей императрицей Марией Федоровной). В 1778 году князь был пожалован чином действительного камергера, а в 1781 году избран предводителем дворянства Петербургской губернии. Зная о его близости к Павлу, многие через посредство Куракина ходатайствовали перед великим князем о своих делах и неизменно получали искомую помощь. Настроение таких облагодетельствованных просителей выразил стихотворец Петр Козловский:
Во время путешествия по Европе в 1781–1782 годах Александр Борисович также состоял в свите Павла Петровича. По единодушному мнению, Куракин был признан тогда наиболее изящным кавалером в окружении цесаревича. Так, герцог Тосканский Леопольд в письме к своему брату, императору Иосифу II, от 5 июня 1782 года говорит, что из всех русских вельмож считает князя самым «тонким».
Однако по возвращении из этого путешествия Куракин подвергся опале со стороны императрицы и был отдален от двора. Причинами сего называют казавшуюся Екатерине вредной масонскую деятельность князя (в 1779 году он был принят в главную Петербургскую масонскую ложу), перлюстрированное письмо к Александру его приятеля, полковника Павла Бибикова, в котором тот будто бы злословил о монархине, и наконец, «подозрительную» близость «бриллиантового князя» к наследнику престола. К слову, монархиня вообще ревниво и с опаской относилась к окружению сына; как об этом сказал в сердцах Павел: «Ах, как бы я жалел, имея в свите своей даже преданного мне пуделя; матушка велела бы утопить его».
Долгие четырнадцать лет Александр Борисович провел в своем имении в саратовской глуши. Но и здесь он поддерживал переписку с великим князем, который испросил у матери разрешение видеться с князем два раза в год.
Свою усадьбу, получившую по его прихоти характерное название Надеждино (он имел в виду надежду, которую не оставлял даже в лихолетье опалы со стороны императрицы), Куракин обустроил по образцу самых изысканных европейских дворов. Архитектором надеждинского особняка был известный Джакомо Кваренги, однако внутренние покои и три фасада были спроектированы самим князем. Его трехэтажный дом-дворец с торжественным портиком включал в себя 80 комнат, облицованных алебастровыми массами различных цветов. Покои украшала дорогая, редкой красоты и изящества мебель. Богатая картинная галерея содержала несколько сот полотен первоклассных мастеров. Для ее создания Куракин пригласил в Надеждино пейзажистов Якова Филимонова и Василия Причетникова. Обращала на себя внимание и коллекция великолепных гобеленов, и собранная хозяином обширная фундаментальная библиотека с книгами на нескольких языках.