Диаграммы Пенроуза – что это такое?

г) многоэлементные, содержащие несколько соединенных друг с другом диаграмм остальных классов, например, пространство-время Райснера-Нордстрема.

Следует отметить, что при наличии некоторых технических, геометрических различий, все без исключения координатные диаграммы являются потомками декартовых координат, их своеобразными клонами. После декартовых координат революционным вариантом систем отсчета можно назвать диаграммы Минковского, используемые в математике теории относительности. Эти диаграммы наглядно демонстрируют фундаментальное положение теории относительности – принцип относительности, провозглашающий равенство всех инерциальных систем отсчета. При этом переходы между системами можно трактовать как поворот системы отсчета на некоторый угол.

Рассматриваемые далее диаграммы Пенроуза тоже не составляют исключения, являясь преемниками как диаграмм Минковского, так и декартовых координат. Главными специфическими чертами диаграмм Пенроуза, как указано, является сжатие бесконечно длинных осей времени и расстояния до конечных размеров. При этом для обеспечения преемственности с диаграммами Минковского это сжатие произведено путем конформного преобразования координат. Как мы уже отмечали, это проявляется в том, что светоподобные геодезические сохранили угол наклона в 45 градусов. Любая линия, изображенная в декартовых координатах или на диаграмме Минковского с наклоном в 45 градусов, будет точно такой же прямой, наклоненной под 45 градусов и на диаграммах Пенроуза.

Используя все те же средства, что и на традиционных диаграммах Минковского, мы можем изобразить те же самые мировые линии. Для этого нам нужно определить правила конформного преобразования, правила, по которым обычные, декартовы координаты преобразуются в координаты диаграммы Пенроуза. Очевидно, что прямые линии при этом искривляются, кроме светоподобных геодезических, линий распространения света.

Для такого конформного преобразования координат используется преобразование осей координат с помощью уравнений:

где u, v – новые значения координат на диаграмме Пенроуза.

Таким образом, диаграмма Пенроуза – это, в сущности, обычная координатная система одномерного пространства. Не следует понимать буквально утверждения, что она отражает пространство 2‑сфер (двухмерных сфер), это отражение всего лишь искусственная экстраполяция. Оно ничего не может нам сказать о движении объекта в пространстве параллельно оси r или перпендикулярно к ней.

Можно задаться вопросом, а почему использованы именно эти сильно нелинейные тригонометрические функции? Дело в том, что из множества элементарных функций только тангенс изменяется в диапазоне от минус бесконечности до плюс бесконечности при изменении аргумента в фиксированном диапазоне (от -90 до +90 градусов). То есть, функционально демонстрирует связь между конечным и бесконечным диапазонами. Поэтому изменение бесконечных расстояния и времени, как аргументов, преобразуется в изменение новых аргументов в ограниченном диапазоне.

Заметим, что поместить бесконечное пространство-время на диаграмме конечных размеров, подобно диаграмме Пенроуза, можно также с помощью других функций, изменяющихся в конечных пределах при изменении аргумента на бесконечном диапазоне. Такими свойствами помимо арктангенса обладает, например, степенной ряд 2^‑

ⁿ (2 в степени минус n) и другие. Создать диаграмму, подобную квадратной диаграмме Пенроуза, можно, например, с помощью следующих показательных функций:

На рис.4a изображена диаграмма, построенная с использованием этих уравнений. Сразу же видим, что диаграмма визуально ничем не отличается от диаграммы с тангенциальным преобразованием рис.5. Для удобства коэффициент m выбран таким, что координатная сетка имеет более равномерное распределение, чем тангенциальная.

Рис.4. Диаграмма на основе показательной функции

Красная линия нанесена на диаграмму таким же способом, как и ранее: соединением диагоналей смежных координатных квадратов, то есть, эта линия для координат u-v является прямой линией. В данном случае координаты её последовательных точек описываются уравнением прямой (дуги) вида u + v = 11.

После построения полной координатной сетки из дуг, диаграмму следует повернуть на 45 градусов, вследствие чего дуги становятся координатными линиями r = const и t = const, а ставшие наклонными прямые линии становятся нулевыми геодезическими. Изображённая на рисунке рис.4b дуга в этом случае становится координатной линией.

Диаграмма в форме ромба (квадрата)