Диаграммы Пенроуза – что это такое?

Можно воспользоваться следующим очевидным способом преобразования на квадратной диаграмме левого бесконечного горизонта в конечный. Это простое вытягивание, смещение линии координатной сетки r = 2m до положения левого горизонта событий. Остальные линии сетки левее этой просто "выталкиваются" за пределы диаграммы рис.6. Однако анализ показал безуспешность этого способа.

Как показано на рисунке стрелкой, координатная времениподобная линия r = 2m скачкообразно, пошагово перемещается сначала в нулевую позицию в центре диаграммы, затем в точки ‑1m (рис.6b), ‑2m (рис.6с), ‑4m (рис.6d), ‑7m (рис.6e), ‑10m (рис.6f). При этом в центре диаграммы поочерёдно оказываются координатные линии, соответственно, r = 3m, r = 4m, r = 6m, r = 9m, r = 12m. Разметка сетки при этом сохраняет свой исходный изотропный и конформный вид. Все нулевые геодезические и световые конусы, как ожидается, также сохраняют свои свойства.

Рис.6. Преобразование диаграммы в 2M-диаграмму

Очевидно, что после завершающего перехода координатной линии r = 2m на позицию левого горизонта событий, в центре диаграммы окажется координатная линия со значением +∞. Также очевидно, что никакие геодезические на конечном удалении от горизонта событий в этом случае изобразить на такой диаграмме будет уже невозможно: все они сожмутся в бесконечно тонкую линию вблизи левого горизонта событий. С другой стороны, сдвигаемая влево времениподобная координатная линия r = 2m никогда не превратится в светоподобную линию горизонта событий, в пределе оставаясь от неё на планковском удалении. В этом случае очевидно, что любое изображённое на диаграмме событие или движение не будет иметь никакого отношения к горизонту событий Чёрной дыры. Движение даже к его отдалённой окрестности, например, до r = 1000m будет длиться вечно, только внешне напоминая падение на горизонт r = 2m. Визуально, ввиду мелкой детализации, будет казаться

, что эта линия является корректным горизонтом событий (рис.6f), но при увеличении масштаба (как под микроскопом) фактически не будет никакого различия для значений этих промежуточных "горизонтов". В равной степени мы можем поставить возле них вместо r = 2m как r = 2000m, так и r = –∞, характер диаграммы будет в точности таким же. В целом эта диаграмма становится тождественной обычной диаграмме с двумя пространственноподобными бесконечностями i⁰.

Ещё одной серьёзной проблемой является то, что из-за различной дискретности сетки слева и справа диаграммы, использовать постоянные значения интервалов на всей шкале невозможно. Конечность интервала слева исключает такую возможность. То есть, мы в принципе можем установить шаг делений справа Δr = 1 = const, либо иной другой постоянный шаг. Но на левой стороне диаграммы никакой постоянный шаг невозможен. Получается, что сетка диаграммы должна быть размечена двумя разными шкалами, что, очевидно, весьма неудобно.

Однако есть вариант компромиссной шкалы, единой на всём диапазоне расстояний. Это шкала r, размеченная степенным рядом. Каждому делению шкалы присваивается значение 2+2

ⁿ, где n – номер линии r имеет значения от ‑∞ до +∞. На такой диаграмме для наглядности центру может быть приведена в соответствие, например, координата r = 4m, соответствующая номеру n = 1.

В литературе на такие 2M-диаграммы координатная сетка наносится крайне редко, а если и наносится, то условно, без каких-либо обозначений, шкал. При этом светоподобные геодезические и световые конусы используются широко. Поэтому попытка аналитически построить соответствующую координатную сетку вполне оправданна. Выбор уравнения степенного ряда для сетки r = const позволил вполне приемлемо такую сетку построить.

Однако компромиссная шкала имеет собственную проблему. На диаграммах с такой шкалой оказалось невозможным корректно изобразить световые конусы, поскольку на них светоподобные геодезические оказались кривыми линиями. Проблема вызвана тем, что на такой диаграмме невозможна равномерная шкала времени – возникает так называемая анизотропия времени.

Алгоритм построения диаграммы Пенроуза

Исходя из возможных видов координатных параметров в трёхмерном пространстве, можно выделить четыре различные системы координат. Параметрами, задающими однозначное положение объекта в трёхмерном пространстве

должно быть три. При использовании в качестве таких параметров линейных отрезков – ρ или углов – φ, можно сформировать четыре группы, четыре набора координатных параметров:

3ρ+0φ (три линейных параметра и ни одного углового). Это обычная декартова система ортогональных координат;

1ρ+2φ – это классическая полярная система координат;

0ρ+3φ – это широко применяемая в астрономии, космологии система координат, которая в такой формулировке явно, детально нигде не описана;

2ρ+1φ – система координат, об использовании которой ничего не известно.