Дискретная математика без формул

Несогласные себя называют КОНСТРУКТИВИСТАМИили ИНТУИЦИОНИСТАМИ.

Согласным же ничего не осталось, как назвать самих себя КЛАССИКАМИ… С чем не согласны несогласные.

Лекция 4. СООТВЕТСТВИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, ОТНОШЕНИЯ

Алгеброй далеко не исчерпывается все то, что можно сделать с множествами…

В математике, как и в жизни, различные об'екты могут чему-то соответствовать или не соответствовать. Находиться меж собой в определенных отношениях или наоборот – не находится. И основой формализации, если угодно – математизации, здесь также служат множества.

То есть между множествами могут устанавливаться различные

СООТВЕТСТВИЯи ОТНОШЕНИЯ. Более того (а серьезные математики может быть даже сказали бы «прежде всего»), множества нередко могут ОТОБРАЖАТЬСЯдруг в друг друга и даже в самих себя…

Человек может соответствовать профессии, зарплата соответствовать должности, наказание – преступлению, оценка – знаниям.

Глядя на многочисленные примеры вокруг мы замечаем, что для определения конкретного соответствия надо определить два множества: множество (область) определения и множество (область) значений. А также определить «пары соответствий». Например, область определения – группа ух-005, сдающая экзамен; область значений – отл, хор, уд, неуд – множество оценок. И множество пар Иванов – отл, Петров – хор, Сидоров – отл. А Хведоров – не явился. Вот вам и готовое соответствие.

Соответствия обладают свойствами.

1. В данном случае соответствие НЕ-ВСЮДУ-ОПРЕДЕЛЕННОЕ, поскольку для Хведорова в этом соответствии нет пары. (Даже если бы мы написали в ведомости Хведоров – н/я, то это все равно бы не попало в соответствие, поскольку «н/я» нет в множестве допустимых значений!). Если бы деканат своевременно исключил из ведомости Хведорова, как отчисленного, то это соответствие стало бы ВСЮДУ-ОПРЕДЕЛЕННЫМ

2. Соответствие ФУНКЦИОНАЛЬНО, поскольку каждому студенту соответствует не более одной оценки. Такое соответствие называют по-простому, ФУНКЦИЕЙ. В данном случае из-за Хведорова это не всюду определенная функция. Никакой разницы со школьной функцией кроме той принципиальной, что здесь аргументами и значениями могут быть не только числа, а любые об'екты. Кстати, не всем математикам нравится такое определение функции, хотя оно абсолютно строгое. Просто сказывается ревность к множествам с позиций некоторых других разделов математики.

Если бы за один экзамен студенты могли получать несколько оценок, то соответствие было бы НЕФУНКЦИОНАЛЬНЫМ. То есть не было бы функцией. (Оно было бы «многозначной [недетерминированной] функцией», но это уже другая математика). Да и в жизни так не бывает.

3. Данное соответствие НЕИН'ЕКТИВНО, поскольку отл получил более, чем один студент. Если бы Сидоров, из-за фатальной предрасположенности к несчастьям, получил не отл, а уд (или неуд), то соответствие было бы

ИН'ЕКТИВНЫМ… Получение студентами олимпийских медалей за победу в беге на 100 метров было бы примером ин'ективного соответствия.

4. Данное соответствие НЕСЮР'ЕКТИВНО, поскольку на экзамене были использованы не все возможные оценки. На реальных экзаменах обычно бывает задействован весь возможный спектр оценок, поэтому это соответствие бывает «по жизни» СЮР'ЕКТИВНЫМ. Естественно, сюр'ективно в даный момент приобретение билетов на Витаса.

5. Соответствие, которое одновременно ВСЮДУ-ОПРЕДЕЛЕНО, ФУНКЦИОНАЛЬНО, ИН'ЕКТИВНОи СЮР'ЕКТИВНО

называется БИЕКТИВНЫМ. Еще его называют ВЗАИМНО-ОДНОЗНАЧНЫМ, но так звучит менее красиво. Говорят, что самый убедительный пример биективного соответствия головы на плечах. Возьмите множество голов, множество плеч и убедитесь во всех четырех свойствах. Криминальные варианты не предлагать!

Выделение соответствий в отдельную категорию предложили европейцы, а точнее французы, а еще точнее, Николя Бурбаки (это французский Козьма Прутков, состоявший из математиков интеллектуалов). Американская школа считает соответствия частным случаем отношений. А у нас разговор про отношения отдельный – так легче разложить все по полочкам. Так что пришла пора поговорить об отношениях.

В математике, как и в жизни, различные об'екты могут иметь какое-то отношение к другим об'ектам или не иметь.

Родственные отношения, дружеские отношения, дипломатические отношения, равноправные отношения.

Глядя на многочисленные примеры вокруг, мы замечаем, что отношения отличаются от соответствий тем, что определяются на одном множестве. Бессмысленно бы было говорить об отношениях между студентами и оценками. О дипломатических, родственных или любых других отношениях между должностью и зарплатой. Для определения конкретного отношения надо определить множество, и пары, для которых имеет место данное отношение.