Читаем Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел полностью

Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел

Эйлер просто наслаждался вычислением простых чисел. Он составил их таблицы, включая числа до 100000 и даже больше. Как мы уже упоминали, ему удалось доказать, что пятое число Ферма не является простым — для этого ученый пошел теоретическим путем, поскольку для вычисления этого числа не хватало даже его способностей. А одним из самых любопытных открытий Эйлера стала формула, которая, казалось, генерирует огромное количество простых чисел. В 1772 году он вычислил все результаты, которые получаются, если присвоить х значения от 0 до 39 в уравнении х^2 + х + 41, и получил следующий список:

41,43, 47, 53,61,71,83,97,113, 131, 151,173, 197, 223, 251,281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231,1301, 1373,1447, 1523,1601.

Все эти числа простые. Начало казалось многообещающим, но при x = 40 и х=41 формула давала составные числа. И снова формула непрерывного и бесконечного порождения простых чисел ускользнула. Также Эйлер открыл, что если изменить независимый член уравнения и вместо 41 подставить 2, 3, 5, 11, 17, также получаются простые числа, но этот ряд всегда в конце концов прерывается. В 1751 году Эйлер пишет: «Есть некоторые загадки, в которые человеческий разум никогда не проникнет. Чтобы убедиться в этом, достаточно бросить взгляд на таблицы простых чисел. Мы заметим, что в них нет ни порядка, ни закона». Если даже великий Эйлер сдался, то проблема действительно серьезна. Так обстояли дела, когда вопросом заинтересовался Гаусс. Наш герой искренне восхищался Эйлером и даже сказал о нем, имея в виду теорию чисел:

«Особая красота этой сферы привлекала всех, кто активно занимался ее развитием; но никто не выражал этого так ярко, как Эйлер, который почти во всех своих многочисленных работах, посвященных теории чисел, постоянно говорит о том удовольствии, которое он получает от этих исследований и от приятных изменений, происходящих в работах, наиболее прямо связанных с практическим применением».

ГИПОТЕЗЫ ГАУССА О ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ

Как вы уже поняли, в течение многих веков математики безуспешно пытались найти формулу, которая бесконечно генерировала бы простые числа. Но Гаусс решил пойти другим путем и использовать новую стратегию. Собственно, этим он славился с юных лет: гениальность Гаусса в том и состояла, что он всегда шел к решению собственными путями, избегая очевидного и многажды опробованного. Ученый оставил поиск универсальных формул (путь, который всегда заводил в тупик), он попытался найти закономерность в распределении простых чисел и, если это возможно, математические выражения, определявшие эту закономерность. Так наметился перелом в подходе к проблеме, а последующие поколения математиков получили обширный материал для изучения, на основе которого были сделаны перспективные открытия. Идея Гаусса состояла в том, чтобы связать распределение простых чисел с логарифмами по основанию е. Казалось, что эта идея буквально вспыхнула в его живом математическом уме, однако на самом деле она вынашивалась годами, а полученные результаты надолго пережили ученого.

В 14 лет Гаусс получил в подарок книгу о логарифмах — необходимом инструменте для любого, кто интересуется арифметикой. С появлением математических калькуляторов логарифмы утратили часть своего значения, и сейчас их изучают не так интенсивно, как это было десятки лет назад. Причина в том, что логарифмы позволяли очень упростить математические операции.

ПРИМЕНЕНИЕ ЛОГАРИФМОВ

Если даны два действительных числа b и х, можно сказать, что z — это логарифм х по основанию b, если b, возведенное в степень z, дает х. Выражаясь математически:

log_bx=z->b^z=x.

У логарифмов есть два свойства, которые делают их очень удобными для арифметических операций. С одной стороны, логарифм произведения — это сумма логарифмов, а его частное превращается в разность. Так,

log_b