Эта странная математика

Чтобы заслужить звание фрактала, фигуре нужно всего лишь иметь сложную структуру в любом масштабе, сколь бы крупным он ни был. Подавляющее большинство кривых и геометрических фигур в математике – не фракталы. Окружность, например, нельзя считать фракталом потому, что, если постепенно увеличивать часть составляющей ее кривой, она будет все больше и больше походить на прямую линию, после чего, сколько ее ни приближай, ничего нового уже не увидишь. Квадрат – тоже не фрактал. При увеличении его углы не меняют свою структуру, а все остальное выглядит как прямые линии. Чтобы быть фракталом, мало иметь сложную структуру в одной точке или даже во множестве (конечном множестве) точек; структура должна быть сложной во всех точках. То же касается и трехмерных фигур, и фигур более высоких размерностей. Сферы и кубы, например, – не фракталы. Но существует множество фигур различных размерностей, которые являются фракталами.

Вернемся к береговой линии Великобритании. На карте малого масштаба показаны только самые крупные заливы, лагуны и полуострова. Но выйдите на пляж – и вы увидите более мелкие объекты: бухты, косы и так далее. Всмотритесь пристальнее, возьмите лупу или микроскоп, и вы различите совсем неприметные элементы – неровности каждого валуна на берегу. И так все дальше и дальше. В реальном мире приближать объект бесконечно невозможно. На уровне атомов и молекул (а возможно, и раньше) уже нет смысла говорить о более мелких деталях, влияющих на длину побережья, тем более что эта длина меняется каждую минуту из-за эрозии, отливов и приливов. И все же побережье Великобритании и очертания других островов и стран – достаточно близкий аналог фракталов, что объясняет, почему могут так различаться данные разных источников о длине пограничной линии. Глядя на карту Великобритании, не увидишь всей изрезанности побережья, которая становится очевидной, когда идешь по берегу пешком. Вот почему измеренная по карте береговая линия получается короче. А простая прогулка по пляжу не даст столь же точных результатов, как измерение линейкой или еще более прецизионным инструментом всех изгибов и неровностей каменистого берега, обводов валунов и прочих мелких деталей. При этом с увеличением точности измерений длина береговой линии возрастает экспоненциально, вместо того чтобы приближаться к некоему конечному “истинному” значению. Другими словами, при наличии измерительного оборудования с достаточно высокой разрешающей способностью вы можете получить любую, сколь угодно большую, длину береговой линии (разумеется, в тех пределах, что устанавливает атомная природа вещества).

Помимо естественных фракталов, таких как контуры побережья, существует и множество фракталов чисто математических. Простой способ изобразить фрактал – разделить отрезок прямой на три равных части, затем, используя среднюю часть как основание, построить на ней равносторонний треугольник, а потом его основание стереть. После этого процесс повторить на каждом из получившихся четырех отрезков, затем на каждом из новых коротеньких отрезков – и так далее, пока не надоест или до бесконечности. Окончательный результат носит название кривой Коха, в честь шведского математика Хельге фон Коха, посвятившего ей опубликованную в 1904 году научную статью. Три кривых Коха можно объединить в фигуру, известную как снежинка Коха[15]. Кривая Коха стала одной из первых построенных человеком фрактальных фигур. Еще два хорошо известных сегодня фрактала были математически описаны в первой четверти XX века польским математиком Вацлавом Серпинским и носят его имя: треугольник (или салфетка) и ковер Серпинского. Чтобы получить салфетку, Серпинский разделил равносторонний треугольник на четыре новых, с длиной стороны в два раза меньшей, чем у исходного. Затем он удалил центральный и повторил процедуру с каждым из оставшихся трех равносторонних треугольников, потом с получившимися новыми и так далее. Хотя всерьез математики начали изучать такие объекты около столетия назад, художники знали о них еще с античных времен. Салфетку Серпинского, например, можно увидеть на произведениях итальянских мастеров (например, на мозаике собора в городе Ананьи), датируемых еще XIII веком.