Эта странная математика

Кеплер помог вывести астрономию на современный этап ее развития, сделав важнейшее открытие: орбиты планет имеют не круговую, как считалось в древности, а эллиптическую форму. Оно заложило основу для ньютоновской теории тяготения. Менее очевидная его ценность состоит в том, что оно подготовило почву для создания новых, более гибких музыкальных строев. Проводя свои акустические эксперименты, Кеплер заинтересовался: существует ли минимальный, базовый интервал – наименьший общий делитель, – с помощью которого можно построить все остальные гармонии? Оказалось, что нет. Так же как орбиты планет представляют собой неидеальные окружности, в музыке не существует и простого, ясного способа добиться консонанса – слитного, согласного звучания, – используя лишь один базовый интервал. Особенно очевидным это становилось при попытке изменить тональность музыкальной пьесы.

Пифагоров строй, основанный на чистых квинтах, – один из примеров строя, называемого натуральным или чистым, в котором частоты нот соотносятся как довольно небольшие целые числа. Если взять, например, гамму до мажор, разделить ее на восемь ступеней разной высоты (до, ре, ми, фа, соль, ля, си, до) и присвоить тонике, или основному тону, до, соотношение 1: 1, а пятой ступени, соль, соотношение 3: 2, то в пифагоровом строе частоты нот, расположенных выше ноты до, будут относиться к ее частоте следующим образом: ре – 9: 8, ми – 81: 64, фа – 4: 3, соль – 3: 2, ля – 27: 16, си – 243: 128, до (следующей октавы) – 2: 1. Такая система прекрасно работает, если оставаться все время в той же тональности или использовать гибкий музыкальный инструмент – например, человеческий голос, – способный интонационно подстраиваться на ходу. Проблемы с любым из натуральных строев возникают при использовании таких инструментов, как фортепиано, которые, будучи настроены определенным образом, могут производить звуки только с фиксированными частотами.

Вырваться за рамки жестких ограничений пифагорова строя пытались композиторы и музыканты и до Кеплера. Но именно в его время были сделаны, по крайней мере в Европе, первые серьезные шаги в направлении полного отказа от натурального строя. Одним из пионеров этого движения стал отец Галилео Галилея Винченцо, выступавший за использование двенадцатиступенной системы, получившей название “равномерно темперированный строй”. В этой системе все соседние ноты разделены одинаковыми интервалами, то есть имеют одно и то же соотношение частот. В разделенном на двенадцать полутонов звукоряде частота каждой следующей ступени увеличивается в 2^1/12, или 1,059463, раза. Представьте себе, например, звукоряд, начинающийся с ноты ля первой октавы. Ее частота, служащая эталоном при настройке современных оркестров, – 440 герц (колебаний в секунду). Следующая нота, повыше, – ля-диез, ее частота равна 440 × 1,059463, или примерно 466,2 герца. Двенадцатью полутонами выше находится ля следующей октавы с частотой 440 × 1,059463¹² = 880 герц, то есть вдвое большей, чем у начальной ноты.

При таком построении ни один из тонов двенадцатиступенного равномерно темперированного строя, кроме тоники и октавы, по частоте не совпадает в точности с соответствующими нотами натурального строя, хотя кварты и квинты так близки к “натуральным”, что на слух их почти невозможно различить. Равномерно темперированный строй – компромисс: его ноты звучат не так чисто, как в натуральном строе, но огромное его преимущество в том, что исполняемая музыка звучит вполне гармонично в любой тональности без перенастройки инструментов. Благодаря ему такие инструменты, как фортепиано, приобрели некую практичность и музыкальную гибкость, а в музыкальной композиции и оркестровке открылись новые горизонты.

Сегодня в западной музыке царствует двенадцатиступенная равномерная темперация. Но в других частях света сложились иные музыкальные строи – отчасти именно поэтому столь экзотично для нашего западного слуха звучит музыка Азии и Ближнего Востока. Арабская музыка, например, основана на двадцатичетырехступенном темперированном строе, а потому в ней активно используются интервалы в четверть тона. При этом в каждом отдельно взятом произведении фигурирует лишь малая часть из двадцати четырех тонов, которая определяется “макамом”, то есть типом мелодии, – аналогично западным пьесам, в которых из двенадцати тонов обычно используется не больше семи, в зависимости от тональности произведения. Как и в индийской раге и других незападных музыкальных формах, здесь существуют строгие правила, регламентирующие – даже в самой затейливой и затяжной импровизации – такие аспекты, как выбор нот, соотношения между ними, нотный рисунок и последовательность тонов в мелодии.