Эта странная математика

В своей знаменитой статье 1859 года Риман предложил улучшенную, как он считал, формулу для оценки количества простых чисел вплоть до заданного числа. Однако для применения формулы нужно было знать, при каких значениях дзета-функция Римана равна нулю. Дзета-функция Римана определена для всех комплексных чисел вида x + iy, кроме случаев, когда x = 1. Функция равна нулю при всех отрицательных четных целых значениях (–2, –4, –6 и так далее), но для решения вопроса о распределении простых чисел они не представляют интереса, поэтому эти нули называют “тривиальными”. Риман понял, что функция также имеет бесконечное число нулей в критической полосе между

x = 0 и x = 1 и что эти “нетривиальные” нули симметричны относительно прямой x = S. Его знаменитая гипотеза гласит, что все нетривиальные нули комплексной дзета-функции как раз находятся точно

на этой прямой.

Если гипотеза Римана верна, из этого будет следовать, что в пределах, установленных теоремой о распределении простых чисел, те распределены максимально регулярно. Другими словами, допуская, что есть некая доля “шума” или “хаоса”, которая мешает точно предсказать, где появится следующее простое число, гипотеза Римана говорит нам, что шум этот очень четко регламентирован, что кажущаяся анархия в рядах простых чисел на деле тщательно срежиссирована. Можно для примера представить себе игральную кость со множеством граней, у которой вероятность выпадения простого числа составляет 1/log n. Предположим, что для каждого n, равного или большего 2, вы бросаете кость n раз. В идеале простое число должно выпасть

n/log n раз. Но идеал, как известно, недостижим, поэтому в реальности всегда будет отклонение от ожидаемого значения – погрешность. Величина этой погрешности определяется правилом, которое называют законом больших чисел. В гипотезе Римана утверждается, что распределение простых чисел отклоняется от n/log n

не больше, чем это следует из закона больших чисел.

Есть немало веских аргументов, свидетельствующих об истинности гипотезы Римана. Риман сам проверил несколько первых нетривиальных нулей на соответствие правилу, а Алан Тьюринг с помощью одного из первых компьютеров протестировал первую тысячу. В 1986 году было объявлено, что первые миллиард с половиной нетривиальных нулей дзета-функции Римана находятся точно на критической прямой, где действительная часть функции равна S. Гораздо раньше, еще в 1915 году, Годфри Харолд Харди доказал, что число нетривиальных нулей на этой прямой бесконечно (хотя и не факт, что все нетривиальные нули лежат именно на ней). В 1989 году американский математик Брайан Конри представил доказательство, что число нулей, лежащих на критической прямой, превышает две пятых от общего количества нулей в критической полосе. Шестью годами позже, после нескольких лет работы проекта распределенных вычислений ZetaGrid, было получено подтверждение того, что первые 100 миллиардов нулей дзета-функции Римана приходятся ровно на критическую прямую, без каких бы то ни было исключений.

Учитывая, что все говорит в пользу истинности гипотезы Римана, сомнения в ее правильности могут показаться невиданным упрямством. Однако в математике между уверенностью и убедительным доказательством – дистанция огромного размера. В отсутствие строгого доказательства даже самые ценные для науки результаты, базирующиеся на предположении теоретика как на чем-то само собой разумеющемся, пусть и такого выдающегося теоретика, как Бернхард Риман, – не более чем карточный домик. Пока существует возможность, что хотя бы один нетривиальный нуль в критической полосе находится где угодно, но не на прямой x = S, любые попытки полагаться на замечательную догадку Римана как на истину означают, что мы выдаем желаемое за действительное.

Между тем важность доказательства истинности (или ложности) гипотезы Римана выходит за рамки не только теории чисел, но и математики в целом. Оказалось, что существует неочевидная, но прямая связь между предположением Римана и субатомным миром. Однажды в апреле 1972 года в Принстоне двое математиков из Института перспективных исследований, Хью Монтгомери и Атле Сельберг, обсуждали недавнее открытие Монтгомери, связанное с интервалами между нетривиальными нулями на критической прямой. Позже, в институтской столовой, Монтгомери познакомили с Фрименом Дайсоном, профессором Школы естественных наук того же института. Стоило Монтгомери затронуть тему своей работы, как Дайсон тут же осознал, что упомянутые расчеты в точности повторяют те, которые ему самому пришлось проводить в 1960-х годах, когда он изучал так называемую теорию случайных матриц. Эта теория используется, чтобы рассчитывать энергетические уровни частиц внутри тяжелых атомных ядер. Дайсон вспоминал удивление, которое он испытал, обнаружив, что при изучении распределения простых чисел всплывают те же самые уравнения: