Эта странная математика

Гораздо дольше, вероятно в миллиарды раз дольше, чем будет светить Солнце, могла бы длиться игра на шахматной доске, бесконечно простирающейся во всех направлениях. В “бесконечных шахматах” те же правила и столько же фигур, что и в обычных, но поле для игры не имеет границ. Ходы на такой доске возможны весьма эффектные: представьте себе, как с расстояния в триллион клеток мчится на всех парусах черная ладья, а в ответ пронесшийся через межгалактическое пространство белый слон берет пешку. Нам, ограниченным своим крошечным мирком, такая игра покажется чересчур масштабной и несколько затянутой. И все же благодаря математике мы имеем возможность если не принять в ней участие, то как минимум что-то о ней узнать. А самое главное, мы можем абсолютно точно утверждать: что в обычных шахматах, что в бесконечных существует стратегия, гарантирующая выигрыш избравшему ее игроку. Что это за стратегия? Пока у нас в распоряжении не будет компьютера с неограниченным быстродействием и бесконечным объемом памяти, этого нам не узнать. Но само сознание того, что любую разновидность шахмат, да и любую другую игру с совершенной информацией – хоть конечную, хоть бесконечную – можно (пусть и теоретически) просчитать, приносит хоть какое-то удовлетворение.

В 1960-х годах, когда работа над искусственным интеллектом только начиналась, математики и специалисты по вычислительным системам, такие как Клод Шеннон, использовали шахматы для испытания методик, способных обучить компьютеры мыслить как человек. Сложные стратегические игры и сегодня служат этой цели. Сами по себе они не имеют особой ценности (если только не являются источником дохода). Но подходы, используемые при проектировании машин для игр, при их обучении и самообучении, можно перенести в другие области знания, действительно имеющие большое значение. Что еще важнее, попытки просчитать шахматы и аналогичные сложные игры помогают пролить свет на границы возможностей человеческого познания.

Глава 9. Магия парадокса

Как замечательно, что мы натолкнулись на парадокс. Теперь у нас появилась надежда продвинуться вперед.

Нильс Бор

Прошу принять мое заявление о выходе из членства клуба. Я не желаю состоять в организации, куда принимают людей вроде меня.

Граучо Маркс

Слово “парадокс” восходит к греческим словам para (“против”, “вопреки”) и doxa (“мнение”, “представление”), то есть буквально оно означает нечто, что противоречит интуиции или здравому смыслу. В обиходной речи мы часто называем парадоксальным то, во что трудно поверить. Например, в третьей главе мы говорили, что если в одной комнате собрать 23 человека, то вероятность, что у двух из них совпадут дни рождения, больше 50 %. Это утверждение часто называют “парадоксом дней рождения”, хотя это легко доказуемый статистический факт, вызывающий удивление лишь потому, что противоречит нашим ожиданиям. Математики и логики употребляют слово “парадокс” в более узком значении: для них это утверждение или ситуация, содержащие внутреннее противоречие. Один из таких парадоксов, как мы увидим, привел к важному открытию в фундаментальном разделе математики. Другие, имеющие отношение к природе внутреннего “я”, к свободе воли, ко времени, породили плодотворные философские и научные дискуссии.

Французский богослов и философ XIV века Жан Буридан сыграл важную роль в распространении в Европе идей коперниканской революции – о том, что планеты обращаются вокруг Солнца. Но больше его имя известно благодаря ассоциации со средневековым логическим парадоксом. Буридан представил себе осла, стоящего ровно посередине между двумя копнами сена, одинаковыми во всех отношениях – по размеру, качеству и внешнему виду. Осел голоден, но помимо этого обладает рациональным мышлением и ослиным упрямством, а потому никак не может решить, какую копну предпочесть. Раздираемый сомнениями и не имея рационального основания для принятия решения, осел в конце концов умирает от голода. Будь копна всего одна, он выжил бы, а с двумя одинаковыми – гибнет. Все, что от него требовалось, – чуточка благоразумия. И где здесь логика?