Эта странная математика

Искусство, музыка, язык, вычислительные системы, математика – рекурсия встречается во всех этих областях; она многолика, но это всегда нечто, что возвращается к самому себе. Иногда в результате получается просто бесконечно повторяющаяся петля. Возьмите, к примеру, шуточную словарную статью: “Рекурсия. См. рекурсия”. Более детально проработана рекурсивная петля в литографии Маурица Эшера “Картинная галерея” (1956 года), на которой изображено здание городской галереи, в которой выставлена картина, изображающая здание галереи, в которой… и так далее. Классический пример рекурсии в технике – обратная связь, когда выходной сигнал системы подается на ее вход. С этой проблемой нередко приходится сталкиваться, например, рок-музыкантам, если микрофон на сцене расположен перед акустической системой, к которой он подключен. Звук, принимаемый микрофоном, усиливается и подается на динамик системы, откуда вновь поступает на микрофон, и так продолжается до тех пор, пока – довольно скоро – из-за усиления при каждом прохождении цикла звук не превратится в знакомый пронзительный свист. Рекурсия в математике работает примерно так же, только вместо электронной системы “микрофон – усилитель – динамик” здесь функция, которая обращается к самой себе, так что ее выходное значение подается опять на вход.

Итак, мы достигли ступеньки f₁(n) на лестнице быстрорастущей иерархии. Следующая ступенька, f₂(n), подставляет функцию f₁(

n) саму в себя n раз. Ее можно записать как f₂(n) = f₁(f₁(… f

₁(n))) = n × 2 × 2 × 2 × … × 2, где количество двоек равно n. Это то же самое, что n × 2ⁿ, где 2ⁿ – показательная функция. Если подставить вместо n, скажем, 100, то мы получим f

₂(100) = 100 × 2¹⁰⁰ = = 126 765 060 022 822 940 149 670 320 537 600, или приблизительно 127 миллиардов миллиардов триллионов. Будь это сумма на банковском счете, такое состояние даже Биллу Гейтсу могло бы только во сне присниться, а ведь она гораздо меньше, чем некоторые из известных чисел, что нам уже встречались, таких как гугол. Меньше она и суммы самого крупного в истории иска о компенсации ущерба. Иск на 2 ундециллиона (то есть два триллиона триллионов триллионов) долларов был подан 11 апреля 2014 года жителем Манхэттена Энтоном Пьюрисимой, утверждавшим, что в городском автобусе его покусала “больная бешенством” собака. В бессвязном исковом заявлении на 22 страницы, написанном от руки, к которому была приложена фотография несуразно огромной повязки на среднем пальце, Пьюрисима требовал от управления городского транспорта Нью-Йорка, аэропорта Ла-Гуардия, кафе Au Bon Pain (где его якобы регулярно обсчитывали при покупке кофе), университетского медицинского центра города Хобокена и сотен других организаций выплаты компенсации на общую сумму, превышающую всю денежную массу на планете. В мае 2017 года иск был отклонен “за недостаточностью правовых и фактических оснований”. Будем надеяться, что познания Пьюрисимы в математике не распространяются на быстрорастущую иерархию – иначе за этим иском могут последовать другие, на еще бо́льшие суммы (раньше он уже подавал в суд на несколько крупных банков, Международный музыкальный фонд Лан Лана и Китайскую Народную Республику).

Функция f₃(n) представляет собой n повторений функции f₂(n

), а получающееся в результате число чуть превышает 2 в степени n в степени n в степени n… со степенной башней высотой в n этажей. Это этап двух стрелок, или тетрации, – операции, что мы встречали на подступах к числу Грэма. Дальше продолжаем в том же духе: f₄(n) – это три стрелки, f₅(n) – четыре стрелки и так далее; то есть каждое увеличение ординала на единицу равносильно добавлению очередной стрелки и еще одному шагу к количеству стрелок n – 1. Это дает уже реально большие числа – не только по повседневным меркам, но даже по меркам сутяжника Пьюрисимы. Однако, если добавлять всего по одной стрелке за раз, даже до числа Грэма не скоро доберешься, не говоря уже о других, гораздо более солидных экземплярах. Здесь нужно какое-то неожиданное решение. Чтобы получить действительно колоссальные конечные числа, нам придется прибегнуть к помощи чисел бесконечных.