Эта странная математика

Топологам приходится то и дело мысленно переключаться между пространствами разной размерности. Чтобы оперировать при этом некими общими понятиями, они изобрели для себя целый словарь специальных терминов. С “вложением” и “погружением” мы уже знакомы. Еще один – “многообразие”: это обобщение термина “поверхность” в приложении к другим измерениям. Все то, что мы называем “поверхностью”, по определению двумерно, поэтому правильно говорить не “двумерная поверхность” (это тавтология), а “двумерное многообразие”. Сфера, тор, лента Мёбиуса и бутылка Клейна – все это примеры двумерных многообразий. Первые три из них можно вложить в трехмерное пространство, а бутылку Клейна – нет. Прямые и окружности – это одномерные многообразия, а кроме них есть еще (хоть мы и не способны толком их себе представить) трехмерные многообразия, четырехмерные и так далее. Одно из простейших трехмерных многообразий – это трехмерная сфера. Подобно обычной двумерной сфере, которая представляет собой поверхность, ограничивающую шар в трехмерном пространстве, трехмерная сфера – это объект, имеющий три измерения и образующий границу четырехмерного шара. Мы не можем точно представить себе, как выглядел бы трехмерный аналог поверхности, не говоря уже о границах в более высоких измерениях. Но, несмотря на эту нашу ограниченность, у математиков есть весь инструментарий, необходимый им, чтобы оперировать подобными понятиями.

При работе с высшими измерениями порой открываются совершенно неожиданные вещи. В четырехмерном пространстве, например, окружности не могут зацепляться, а обычных узлов просто не существует. То же касается и более высоких размерностей. В четырех измерениях происходит еще одна диковинная штука: сферы там могут “заузляться”. Представить, как это выглядит, мы не в силах – но ведь и двумерные существа так же были бы неспособны представить себе, как окружности могут быть заузлены и при этом не пересекать сами себя.

Как и все другие разделы математики, топология – динамично развивающаяся область знаний, в которой ежегодно делаются новые открытия и ждут своего решения старые и новые проблемы. Одна из наиболее важных – и в топологии, и в математике в целом – известна как гипотеза Пуанкаре. Ее важность не в каком-то очевидном практическом применении: вряд ли она поможет нам быстрее добраться до Марса или найти лекарство от старения. Ее значение для математики чисто теоретическое, оно связано с работой по классификации поверхностей (то есть многообразий) высших размерностей.

Гипотезу впервые выдвинул в 1900 году Анри Пуанкаре, один из основателей топологии как точной научной дисциплины. Многие почитают его как “последнего универсала” – эксперта во всех областях математики своего времени[54]

. Пуанкаре разработал методику под названием “гомологии”, которая представляет собой, упрощенно говоря, способ определять и относить к той или иной категории отверстия в многообразиях. Здесь все не так очевидно, как может показаться, поскольку математические отверстия – штуки довольно хитрые, их не так просто заметить и сосчитать, как, скажем, дырки в кренделе или в старом носке. Двумерное пространство в “Астероидах”, например, топологически эквивалентно тору, хотя у тора есть совершенно очевидная дырка, а в пространстве “Астероидов” ее как-то не заметно. Нельзя забывать, что математические отверстия – это абстрактные понятия, которые бывает труднее себе представить, чем, допустим, дырку в бублике; а кроме того, они еще окружены “петлями” – так что гомологии можно определить и как способ анализа различных типов петель в многообразиях.

Исходное предположение Пуанкаре заключалось в том, что гомологий достаточно, чтобы определить, является ли то или иное трехмерное многообразие топологически эквивалентным трехмерной сфере. Но уже через несколько лет он сам опроверг эту гипотезу, построив контрпример: гомологическую сферу Пуанкаре, которая истинной трехмерной сферой не является, но имеет те же гомологии. После дальнейших исследований он сформулировал свою гипотезу в новом виде. Если говорить простым языком, она гласит, что любое конечное трехмерное пространство, не имеющее отверстий, может быть непрерывно деформировано в трехмерную сферу. Несмотря на все усилия математиков, в XX веке эта гипотеза так и осталась недоказанной. Ее значение было столь велико, что в 2000 году Математический институт Клэя включил ее в список семи важнейших проблем, за решение которых объявил вознаграждение в миллион долларов США. Три года спустя справедливость гипотезы Пуанкаре доказал российский математик Григорий Перельман в ходе доказательства другой близкой проблемы – гипотезы геометризации Тёрстона.