Фейнмановские лекции по физике. 4. Кинетика. Теплота. Звук

Фиг. 40. 3. Кривая потенциаль­ной энергии для двух молекул. Потенциальная энергия зависит только от расстояний.

Если r>r₀, то при сближении молекул энергия уменьшается, поэтому мо­лекулы притягиваются; если же молекулы сближаются еще тес­нее, энергия очень резко возрастает, значит, на малых рас­стояниях молекулы сильно отталкиваются. Таково в общих чертах поведение молекул.

Предположим теперь, что мы заполнили этими молекулами какой-то ящик и хотим знать, как они там уместятся в среднем. На это даст ответ выражение ехр(-п. э./kT). В этом случае полная потенциальная энергия, если предположить, что моле­кулы взаимодействуют только попарно, равна сумме всех пар­ных энергий (в более сложных случаях могут встретиться и тройные силы, но электрические силы, например, парные). Поэтому вероятность того, что молекулы образуют конфигура­цию, характеризуемую заданными комбинациями расстояний r_ij, пропорциональна

Если температура очень высока, так что kT>>|V(r₀)|, то экспонента почти всюду мала, и вероятность найти молекулу в том или ином месте почти не зависит от расстояния до дру­гих молекул, Рассмотрим случай двух молекул; в этом случае ехр (—п.э./kT) будет вероятностью найти молекулы на расстоянии rдруг от друга. Ясно, что вероятность максимальна тог­да, когда потенциал наиболее отрицателен, а когда потенциал стремится к бесконечности, вероятность почти равна нулю (это происходит на очень малых расстояниях). Это означает, что у атомов газа нет шансов столкнуться друг с другом, уж очень сильно они отталкиваются. Но очень велики шансы найти эти молекулы (если отнести вероятность к единичному объему)

вблизи точки r₀. Здесь вероятность больше, чем в других точ­ках, но насколько больше — это зависит от температуры. Если температура очень велика по сравнению с разностью энергий в точках r=r₀и r=Ґ, то экспонента всегда почти равна еди­нице. Это случай, когда средняя кинетическая энергия (она порядка kT) значительно превосходит потенциальную энергию. Силы тогда мало что значат. Но с падением температуры ве­роятность найти молекулы на расстоянии, близком к r

₀, резко возрастает по сравнению с вероятностью найти молекулы в любом другом месте; и в самом деле, если kT много меньше |V(r₀)|, то около r₀экспонента имеет довольно большой поло­жительный показатель. Другими словами, при заданном объе­ме молекулы предпочитают быть на расстоянии минимальной энергии, а не очень далеко друг от друга. По мере падения температуры атомы сближаются, сбиваются в кучу, объеди­няются в жидкости, в твердые тела и молекулы, а если их по­догреть, то они испаряются.

Если бывает необходимо точно описать, как происходит испарение, или вообще уточнить, как молекулы ведут себя в данных обстоятельствах, то поступать следует так. Прежде всего нужно как можно точнее узнать закон взаимодействия молекул V(r). Как это сделать — безразлично: можно вычис­лить потенциал с помощью квантовой механики или установить закон взаимодействия экспериментально. Но если даже закон взаимодействия молекул известен, нужно все же учесть, что дело идет о миллионах молекул и нам еще придется хватить горя при изучении функции ехр(—SV

_ij/kT). Все же удивительно, что функция так проста и все как будто ясно, поскольку извес­тен точный потенциал взаимодействия, а дело это оказывается невероятно сложным: трудность заключается в ужасающе большом числе переменных.

Но вопрос захватывающе интересен. Это один из примеров того, что называют «задачей многих тел», и он содержит много поистине увлекательных вещей. Одна-единственная формула, которую мы получим, решив задачу, должна содержать все детали, например переход газа в твердое состояние или возмож­ные кристаллические строения твердого тела. Многие пытались ее сосчитать, но математические трудности уж очень велики, и дело не в трудности вывода общего закона, а просто в том, чтобы справиться с огромным числом переменных.

Вот и все, что касается распределения частиц в простран­стве. На этом, собственно, и кончается классическая статисти­ческая механика, ибо если нам известны силы, то в принципе мы можем найти пространственное распределение, а распреде­ление скоростей находится сразу на все случаи жизни, оно не будет меняться от случая к случаю. Основная задача состоит в получении более конкретной информации из нашего формаль­ного решения: это и является основным занятием классической статистической механики.

§ 4. Распределение молекул по скоростям