Фейнмановские лекции по физике. 4. Кинетика. Теплота. Звук

Обсудим теперь распределение молекул по скоростям, по­тому что интересно, а иногда и полезно знать, какая часть мо­лекул движется с той или иной скоростью. Чтобы выяснить это, можно использовать те знания, которые мы приобрели, когда изучали распределение газа в атмосфере. Мы считаем газ идеальным; мы предполагали это, пренебрегая взаимным притяжением атомов при расчете потенциальной энергии. В наш первый пример мы включили лишь потенциальную энер­гию силы тяжести. Если бы между атомами существовали вза­имные силы, то нам, конечно, пришлось бы написать что-ни­будь более сложное. Но мы по-прежнему будем предполагать, что между атомами никаких сил нет, и на момент даже забудем о столкновениях; потом мы попытаемся найти этому оправда­ние. Мы видим, что на высоте h находится гораздо меньше мо­лекул, чем на высоте 0 (фиг. 40.4); согласно формуле (40.1), число их экспоненциально убывает с высотой.

Фиг. 40.4. Высоты h достигают только те молекулы, скорость ко­торых на высоте h=0 достаточно велика.

Но почему же на большей высоте меньше молекул? Разве не все молекулы, живущие на высоте 0, появляются на высоте h? Нет! Потому что на высоте 0 есть молекулы, движущиеся слишком медлен­но, и они не способны взобраться на потенциальную гору до высоты h. Вот и ключ к решению задачи о распределении молекул по скоростям; ведь, зная равенство (40.1), мы знаем число молекул, скорость которых слишком мала для достиже­ния высоты h. Их ровно столько, чтобы создать нужное падение плотности при увеличении h.

Давайте сформулируем все поточнее: подсчитаем, сколько молекул проходит снизу вверх через плоскость h=0 (называя заданный уровень нулевой высотой, мы вовсе не считаем, что здесь пол, просто это удобнее нам для начала отсчета, и на отрицательной высоте может находиться газ). Эти молекулы газа движутся во всех направлениях, и некоторые из них про­ходят через нашу плоскость; таким образом, в любой момент сквозь плоскость снизу вверх проходит известное число мо­лекул в секунду с заданной скоростью. Затем отметим следую­щее: если через uобозначить скорость, необходимую для того, чтобы подняться на высоту h (кинетическая энергия mu²/2=mgh),

то число молекул в секунду, поднимающихся с ниж­ней плоскости строго вверх и имеющих составляющую скорости, большую чем u, в точности равно числу молекул, пересекающих верхнюю плоскость с любой вертикальной составляющей скорости. Те молекулы, вертикальная скорость которых не превышает и, не

достигают верхней плоскости. Таким об­разом,

Но число молекул, пересекающих h с любой скоростью, большей нуля, меньше числа молекул, пересекающих нижний уровень с любой скоростью, большей нуля, хотя бы потому, что внизу больше атомов. Вот и все, что нам нужно. Мы уже знаем, что распределение молекул по скоростям на всех высо­тах одинаково, ведь мы уже выяснили, что температура во всей атмосфере одинакова. Но поскольку распределение ско­ростей всюду одинаково и число атомов, пересекающих нижний уровень, больше, то ясно, что отношение n_>0

(h) (числа ато­мов, пересекающих высоту h с положительной скоростью) и n_>0(0) (числа атомов, пересекающих с положительной ско­ростью высоту 0) равно отношению плотностей на этих высотах, т. е. ехр(—mgh/kT). Но n_>0(h)=h_>u

(0), поэтому

поскольку ¹/₂mu²=mgh. Теперь скажем это своими словами: число молекул, пересекающих за 1 сек единичную площадь

на высоте 0 с вертикальной составляющей скорости, превышаю­щей и, равно произведению числа молекул, пересекающих эту площадку со скоростью, большей нуля, на ехр(-mu²/2kT).

Это верно не только для произвольной высоты 0, но и для любой другой высоты, поэтому распределение по скоростям одинаково повсюду! (Окончательный результат не включает высоты h, она появляется только в промежуточных рассужде­ниях.) Это общая теорема о распределении по скоростям. В ней утверждается, что если в столбе газа просверлить крохот­ную дырочку, ну совсем малюсенькую, так что столкновения там будут редки и длина пробега молекул между столкнове­ниями будет много больше диаметра дырочки, то молекулы будут вылетать из нее с разными скоростями, но доля частиц, вылетающих со скоростью, превышающей и, равна ехр(-mu²/2kT).