Фейнмановские лекции по физике. 4. Кинетика. Теплота. Звук

Теперь сделаем следующий шаг и покажем, что если в ящи­ке имеются два газа, разделенные перегородкой, то по мере достижения равновесия средние кинетические энергии атомов разных газов будут одинаковы, хотя атомы и заключены в разные ящики. Рассуждение можно построить по-разному. Например, можно представить, что в перегородке проделана маленькая дырочка (фиг. 39.4), так что молекулы одного газа проходят сквозь нее, а молекулы второго слишком велики и не пролезают.

Фиг. 39. 4. Два газа в ящике, разделенном полупроницаемой пере­городкой.

Когда установится равновесие, то в том отделе­нии, где находится смесь газов, средние кинетические энергии молекул каждого сорта сравняются. Но ведь в числе проник­ших сквозь дырочку молекул есть и такие, которые не потеря­ли при этом энергии, поэтому средняя кинетическая энергия молекул чистого газа должна быть равна средней кинетичес­кой энергии молекул смеси. Это не очень удовлетворительное доказательство, потому что ведь могло и не быть такой дырочки, сквозь которую пройдут молекулы одного газа и не смогут прой­ти молекулы другого.

Давайте вернемся к задаче о поршне. Можно показать, что кинетическая энергия поршня тоже должна быть равна ¹/₂m₂v²₂. Фактически кинетическая энергия поршня связана только с его горизонтальным движением. Пренебрегая возмож­ным движением поршня вверх и вниз, мы найдем, что гори­зонтальному движению соответствует кинетическая энергия ¹/

₂m₂v²_2x. Но точно так же, исходя из равновесия на другой сто­роне, можно показать, что кинетическая энергия поршня долж­на быть равна ¹/₂т₁v²_1x. Хотя мы повторяем предыдущее рас­суждение, возникают некоторые дополнительные трудности в связи с тем, что в результате столкновений средние кинети­ческие энергии поршня и молекулы газа сравниваются, потому что поршень находится не внутри газа, а смещен в одну сто­рону.

Если вас не удовлетворит и это доказательство, то можно придумать искусственный пример, когда равновесие обеспечи­вается устройством, по которому молекулы каждого газа бьют с обеих сторон. Предположим, что сквозь поршень проходит короткий стержень, на концах которого насажено по шару. Стержень может двигаться сквозь поршень без трения. По каж­дому из шаров со всех сторон бьют молекулы одного сорта. Пусть масса нашего устройства равна m,

а массы молекул газа, как и раньше, равны m₁и m₂. В результате столкновений с молекулами первого сорта кинетическая энергия тела массы mравна среднему значению ¹/₂ m_tv²₁(мы уже доказали это). Точно так же, столкновения с молекулами второго сорта зас­тавляют тело иметь кинетическую энергию, равную среднему значению ¹/₂m

_zv²₂. Если газы находятся в тепловом равнове­сии, то кинетические энергии обоих шаров должны быть рав­ны. Таким образом, результат, доказанный для случая смеси газов, можно немедленно обобщить на случай двух разных газов при одинаковой температуре.

Итак, если два газа имеют одинаковую температуру, то средние кинетические энергии молекул этих газов в системе центра масс равны.

Средняя кинетическая энергия молекул — это свойство только «температуры». А будучи свойством «температуры», а не газа, она может служить определением температуры. Средняя кинетическая энергия молекулы, таким образом, есть некото­рая функция температуры. Но кто нам подскажет, по какой шкале отсчитывать температуру? Мы можем сами определить шкалу температуры так, что средняя энергия будет пропор­циональна температуре. Лучше всего для этого назвать «тем­пературой» саму среднюю энергию. Это была бы самая простая функция, но, к несчастью, эту шкалу уже выбрали иначе и вместо того, чтобы назвать энергию молекулы просто «темпе­ратурой», используют постоянный множитель, связывающий среднюю энергию молекулы и градус абсолютной температу­ры, или градус Кельвина. Этот множитель: k=1,38·10^-23 дж на каждый градус Кельвина. Таким образом, если абсо­лютная температура газа равна Т,

то средняя кинетическая энергия молекулы равна ³/₂kT (множитель ³/₂ введен только для удобства, благодаря чему исчезнут множители в других формулах).

Заметим, что кинетическая энергия, связанная с состав­ляющей движения в любом направлении, равна только ¹/₂kТ. Три независимых направления движения доводят ее до ³/₂kT.

§ 5. Закон идеального газа

Теперь можно подставить наше определение температуры в уравнение (39.9) и найти закон зависимости давления газа от температуры: произведение давления на объем равно про­изведению полного числа атомов на универсальную постоян­ную k и температуру:

PV=NkT. (39.22)