Фейнмановские лекции по гравитации

Знак кулоновских сил связан со знаком временных компонент в лагранжиане. Для гравитационных волн также имеются трансверсальные компоненты, которые заключены в определённые пределы, а при свёртке по двум индексам (или даже по чётному числу индексов) знаки сокращаются, знак временных компонентов ℎ₄₄ противоположен случаю, рассматриваемому в случае электричества, и мы имеем притяжение.

4.2. Тензор энергии-импульса для скалярной материи

Прежде, чем мы сможем вычислять наблюдаемые эффекты и делать предсказания другие, чем закон ”обратных квадратов”, и то, что ”одинаковые тела” притягиваются с силой, пропорциональной его энергии, мы должны определить, как материя определяет тензор давления 𝑇_μν. Сначала мы проведём в некоторых деталях вычисления, основанные на простейшем предположении, что материя может быть представлена скалярной функцией φ. Позднее нам понадобится рассматривать функции более высокого ранга; возможно в конце курса мы рассмотрим вещество со спином ½, поскольку такое вещество имеет свойства, существенно отличающиеся от вещества, характеризующегося целым спином. Для исследования свойств материи с целыми значениями спина 1 и 2 требуются более сложные алгебраические преобразования, однако никаких принципиальных нововведений привлекать не требуется.

Как сделать обобщение плотности энергии-импульса для скалярного поля φ. Если заглянуть в книгу Вентцеля [Went 49] по теории поля, мы обнаружим, что предлагается следующая процедура. Предположим, что лагранжиан зависит от полей и их производных

ℒ

=

ℒ(

ψ

^𝑖

ψ

𝑖

,ν

).

(4.2.1)

Компонент с индексами {44} тензора энергии-импульса должен представлять плотность энергии, которая есть гамильтониан. Поэтому используя обычное классическое описание для выражения гамильтониана из лагранжиана

𝐻

=

𝑞̇

∂𝐿

∂𝑞̇

-

𝐿

,

(4.2.2)

получаем следующее соотношение

𝑇

^μ

_ν

=

ψ

^𝑖

_,ν

∂ℒ

∂ψ^𝑖_,ν

-

δ

^μ

_ν

ℒ

.

(4.2.3)

Это правило не является корректным в общем случае. Во-первых, оно не обязательно приводит к выражению, симметричному по индексам μ и ν. Если тензор 𝑇_μν - несимметричен, то результирующая теория - патологическая (например, нет способа определить угловой момент в таком поле). Закон сохранения энергии в общем случае не выполняется, поскольку в дивергенцию включены члены, которые не являются больше равными

𝑇

^μν

_,ν

≠

𝑇

^νμ

_,ν

.

(4.2.4)

В нашем частном скалярном случае правило (4.2.3) действительно приводит к тому, чтобы получить удовлетворительную симметричную форму. Мы получаем лагранжиан и действие

𝑆

(Скалярная материя)

=

1

2

∫

𝑑𝑉

(

φ

^,σ

φ

_,σ

-

𝑚²φ²

),

(4.2.5)

который даёт следующее выражение для тензора давления

𝑇

_μν

=

φ

_,ν

φ

_,μ

-

1

2

η

_μν

φ

^,σ

φ

_,σ

+

1

2

𝑚²φ²η

_μν

.

(4.2.6)

С учётом тензора давления для скалярной материи (4.2.6) член, описывающий взаимодействие в лагранжиане, имеет следующий вид:

-λℎ

^μν

𝑇

_μν

=-

λ

⎡

⎢

⎣

ℎ

^μν

φ

_,μ

φ

_,ν

-

1

2

ℎ

^μν

η

_μν

(

φ

^,σ

φ

_,σ

-

𝑚²φ²

)

⎤

⎥

⎦

.

(4.2.7)

В наших компактных обозначениях, использующих оператор ”черта”, последнее соотношение может быть переписано следующим образом:

-λ

⎡

⎢

⎣

ℎ

^μν

φ

_,μ

φ

_,ν

+

1

2

ℎ

𝑚²φ²

⎤

⎥

⎦

.

(4.2.8)

Теперь мы можем использовать член, описывающий взаимодействие, для того, чтобы получить амплитуды для рассеяния при обмене гравитоном.

4.3. Амплитуды для рассеяния (скалярная теория)

Рис. 4.2.

Амплитуда рассеяния, соответствующая обмену одним гравитоном, представлена на диаграмме, изображённой на рисунке 4.2, и может быть записана из исследования диаграммы, так как мы знаем форму пропагатора и для каждой вершины у нас есть член, описывающий взаимодействие, задаваемое лагранжианом (4.2.7). Заменим градиенты компонентами 4-импульса в импульсном представлении

𝑖φ

_,ν

=

𝑝

_ν

,

(4.3.1)

так что член, описывающий взаимодействие, становится следующим для одной из вершин

2λ

⎡

⎢

⎣

¹𝑝_μ²𝑝_ν

-

1

2

η

_μν

(

¹𝑝

^σ

²𝑝

_σ

-

𝑚²

)

⎤

⎥

⎦

.

(4.3.2)

Мы пишем подчёркивание под произведением 𝑝_μ𝑝_ν для того, чтобы напомнить, что мы должны использовать соответствующим образом симметризованную версию, так как ℎ_μν - симметричен. Более точно,

𝐴_μ𝐵_ν

≡

1

2

[

𝐴

_μ

𝐵

_ν

+

𝐴

_ν

𝐵

_μ

].

(4.3.3)

Для второй вершины нам также необходима ”черта” для выражения, которое имеет следующий вид

2λ

⎡

⎢

⎣

³𝑝_μ⁴𝑝_ν

-

1

2

𝑚²η

_μν

⎤

⎥

⎦

.

(4.3.4)

Тогда полное выражение для амплитуды есть следующее

4λ

⎡

⎢

⎣

³𝑝_μ⁴𝑝_ν

-

1

2

𝑚²η

_μν

⎤

⎥

⎦

1

𝑞²

⎡

⎢

⎣

¹𝑝_μ²𝑝_ν

-

1

2

η

_μν

(

¹𝑝

^σ

²𝑝

_σ

-

𝑚²

)

⎤

⎥

⎦

.

(4.3.5)

Выбранные обозначения (”черты”, ”подчёркивания” и т.п.) приведут к упрощениям в алгебраических манипуляциях в более сложных вычислениях, которые необходимо будет выполнять, так что стоит ими воспользоваться.