Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия

СИМПЛИЧИО. Но мы еще не использовали закон Гука.

САГРЕДО. Мы в нем не нуждаемся. Мы просто подвесим пружину и измерим нагрузку, которая растягивает пружину до той же длины, что и во время вращения. Экспериментаторы должны потренироваться для того, чтобы вращать как раз с той скоростью, при которой маленькая пружинка окажется растянутой ровно наполовину; тогда они могут замерять время. После этого можно подвесить пружину вертикально и измерить ее натяжение при стандартном растяжении, нагружая ее. При этом можно одновременно измерить радиус орбиты — измерить R на подвешенной вертикально и нагруженной пружине.

СИМПЛИЧИО. О, так мне не придется все время бегать с линейкой.

САЛЬВИАТИ. Конечно нет, но вы можете помочь при измерении R. Боюсь, что центральный колышек не будет стоять неподвижно: экспериментатору, поддерживая вращение, придется двигать его по маленькому кругу. Наблюдая за этим, вы можете прикинуть из измерений на подвешенной пружине во время вращения, сколько надо добавить или вычесть, чтобы получить правильное значение радиуса.

СИМЦЛИЧИО. Но это еще больше, усложняет задачу. Теперь наше приспособление уже ненадежно. Я не верю в то, что мы сможем гарантировать точность измерений и сделать желаемую проверку.

САЛЬВИАТИ. А я смогу, если попрактикуюсь и буду очень внимательным.

САГРЕДО. Думаю, что оба вы ошибаетесь. Имелось в виду сконструировать простой прибор. Измерения будут приближенными. Но если выражение Mv

²/R является точным, тогда различия между непосредственно измеренной силой и силой, рассчитанной из Mv²/R, будут обусловлены случайными ошибками измерения. Отклонения будут одинаково часты в одну и в другую сторону. Группироваться они будут вблизи нуля, если эксперимент делается много раз, предпочтительно разными наблюдателями. Я предлагаю просить большую труппу экспериментаторов, работающих попарно, испытать наш прибор. Пусть каждая пара выражает разницу между измеренной и «вычисленной» ими силой в процентах от ее величины. Изучая эти отклонения, мы узнаем, удалась ли наша проверка.

САЛЬВИАТИ. Мы даже сможем грубо оценить величину отклонений, обусловленных допустимыми ошибками эксперимента. Например, если один оборот совершается за 2 сек, то два экспериментатора могут замерить серию из двадцати оборотов несколько раз. Вряд ли они ошибутся более чем на несколько десятых долей секунды при полном измеряемом времени 40 сек, ошибка будет, скажем. 0,2 сек за 40 сек, или 2 сек за 400 сек, или 0,5 сек за 100 сек, т. е. 0,5 %. Время одного оборота используется для получения v, a v содержится в Mv²/R дважды. Таким образом, ошибка в измерении времени дает вклад 0,5 % + 0,5 % = 1 % в возможную ошибку Mv

²/R. Мы можем оценить возможные ошибки, проистекающие из других ошибок измерения.

САГРЕДО. Пусть уже экспериментаторы сделают это сами. Тогда они больше узнают о достоверности своих результатов[85].

Задача 4

Из геометрии следует, что точка (или небольшое тело), движущаяся в постоянной скоростью v no кругу радиусом R, имеет центростремительное ускорение v²/R. Напишите геометрический вывод этого выражения. (Вы можете предположить, что скорость и ускорение — векторы, т. е. подчиняются законам геометрического сложения и вычитания. Вы можете пользоваться свойствами подобных треугольников. Дайте большие, очень четкие эскизы: один — для фактической картины, другой — для векторов.)

Задача 5

В предлагаемых ниже вопросах предполагается: 1) центростремительное ускорение равно v²/R и 2) в случае этого движения F = M∙a. (Вспомним, что всякий раз, когда вводится F = M∙a, сила должна быть выражена в ньютонах, если масса выражена в килограммах.)

а) Камень массой 2,00 кг вращается (с помощью веревки) по горизонтальной поверхности стола без трения. Длина веревки 4,0 м, следовательно, круг имеет радиус, равный 4 м. Камень движется по орбите со скоростью 7,00 м/сек. Рассчитайте ускорение камня, натяжение веревки. Приведите краткие пояснения.

б) Предположим, что веревка разрывается как pas при том натяжении, которое ей определили выше. Какова будет разрывающая сила в килограммах силы, кГ?

в) Как и в вопросе (а), камень массой 2,00 кг вращается по кругу на веревке длиной 4,0 м, но с такой скоростью, что он совершает пять оборотов ее 2 сек.

Рассчитайте его скорость (ответ оставьте в виде сомножителей, не подставляя численного значения π).

Рассчитайте натяжение каната. (Укажите единица измерения в ответе. Можно положить π² = 10.)

Задача 6

Веревка, подвешенная вертикально, может выдержать только 10,0 кг и рвется при малейшем увеличении нагрузки.

а) Какова разрушающая сила в килограммах силы?

б) Какова эта разрушающая сила в ньютонах?

Кусок такой веревки длиной 1,00 м используется для вращения камня массой 2,0 кг по горизонтальному кругу все быстрее и быстрее, пока веревка не разорвется.

в) Рассчитайте максимальную скорость камня на орбите и приведите краткое объяснение, как вы выполнили этот расчет.