Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия

Задача 1. Первая проверка закона всемирного тяготения

Ньютон не указал, почему падают яблоки. Назвав причину возникновения веса тел словом «гравитация», происходящим от латинского и французского слов «тяжелый», он ничего не объяснил. Утверждение «Земля притягивает яблоко» связывает причину притяжения с Землей, а не с небом, но ничего не дает для понимания сущности гравитации. Между тем, столкнувшись с вопросом «Что удерживает Луну и планеты на их орбитах?». Ньютон смог предложить «объяснение» в том смысле, что одно и то же свойство природы обусловливает также движение планет по орбите и падение яблок. Поэтому «объяснение» означает только объединение этих явлений, объяснение их одной общей причиной. Но уже это весьма полезно для дальнейших выводов и для упрощения наших представлений о природе.

Изучая движение Луны, Ньютон вычислил ее ускорение v²/R. Эта величина оказалась значительно меньше обычного значения g, равного 9,81 м/сек². Поэтому Луна должна была бы падать под действием силы тяжести, если бы земное притяжение не было значительно ослаблено расстоянием. Ньютон пытался рассмотреть простую форму зависимости ослабления притяжения — закон убывания силы тяжести обратно пропорционально квадрату расстояния. Он предположил, что с увеличением расстояния вдвое сила тяжести уменьшится в 4 раза, а если расстояние возрастет в 10 раз, то сила уменьшится в 100 раз и т. д.

Используя приведенные ниже данные, повторите вычисления Ньютона, определив (расчеты нужно вести с большой точностью[105]):

а) ускорение Луны в м/сек², если принять a = v²/R;

б) ожидаемое значение g на Луне в м/сек², считая, что «земное» значение g убывает по закону обратных квадратов. Нужно предположить, что Земля притягивает яблоко так, как если бы вся ее масса была бы сосредоточена в центре Земли, т. е. на расстоянии одного земного радиуса от яблока.

В связи с тем что ответ требуется дать в м/сек², величины расстояний нужно перевести в метры, а время в секунды, прежде чем подставлять данные в формулы. Впрочем, вы можете воспользоваться переходными коэффициентами и отложить перевод единиц, пока это не станет необходимым. Однако смешение километров, часов, метров, секунд может запутать вычисления.

Данные. Радиус Земли 6367 км.

Радиус лунной орбиты в 60,3 раза больше земного;

1 месяц = 27,3 дня (это абсолютный период обращения Луны по отношению к неподвижным звездам);

1 км = 1000 м; g яблока = 9,81 м/сек².

Задача 2. Третий закон Кеплера

Ньютон пришел к выводу о всеобщем характере закона, согласно которому сила притяжения между телами обратно пропорциональна квадрату расстояния. Мы выражаем этот закон в виде F

= GM₁M₂/d². Из этого закона («принципа») он вывел (предсказал) свойства движения Луны, планетной системы, приливов и т. д.

Получите третий закон Кеплера, пользуясь приведенными ниже указаниями. Предположите, что Солнце, масса которого М, удерживает на круговой орбите планету массой m за счет гравитационного притяжения, причем радиус орбиты равен R. Предположите далее, что планета движется с заданной скоростью v, затрачивая время Т (планетный «год») на то, чтобы совершить один оборот.

а) Получите в алгебраической форме:

— ускорение планеты;

— силу, необходимую, чтобы придать планете ускорение;

— силу гравитационного притяжения, если она подчиняется закону тяготения Ньютона;

— скорость v планеты, выраженную через величины R и Т.

б) Доказательство

— напишите полученное Ньютоном алгебраическое уравнение, согласно которому искомая сила, необходимая, чтобы придать планете ускорение, равна гравитационному притяжению;

— исключите из итого уравнения v, пользуясь соотношением, выраженным через величины R и Т;

— перенесите величина, R и Т в левую часть уравнения, а все остальное в правую часть, получив таким путем новое уравнение;

— найдете ли вы R

³/T² в левой части нового уравнения? (Если нет, проверьте свои выкладки.) Установили ли вы, что правая часть одинакова для всех планет, что она постоянна и не содержит m, R, Т?

— будет ли это новое уравнение справедливо с той же самой правой частью для других планет с разными массами, орбитами, периодами обращения, но с тем же Солнцем? Следует ли из соображений Ньютона третий закон Кеплера?

Задача 3. Второй закон Кеплера (Закон «равных площадей»)

а) Что утверждает этот закон? (Приведите чертеж.)

б) Ньютон показал, что этот закон должен выполняться для любого движения планет, если…(?)

в) Просмотрите геометрическое доказательство, сделанное Ньютоном, затем запишите ваш вариант доказательства и дайте рисунок. (Сделайте лучше несколько четких рисунков вместо одного, слишком подробного.)

Задача 4. Относительные массы планет

а) Используя законы движения Ньютона, a = v²/R и закон всемирного тяготения F = GM₁M₂/d², покажите, как можно получить на основе астрономических измерений отношение (масса Юпитера

)/(масса Солнца). Оцените конечный результат, не ссылайтесь на алгебраический результат.

б) Определите приближенно[106] это отношение (см. данные ниже).

в) Сделайте аналогичные оценки отношения (масса Земли)/(масса Солнца).

г) — Из экспериментов, подобных опытам Кавендиша, можно оценить мaccу Земли. Ее величина около 6,6∙10²¹ т. Вычислите приблизительно из приведенного выше отношения массу Солнца в тоннах.

Данные (некоторые из них могут не потребоваться).

Радиусы орбит планет (см. табл. в гл. 18).

Продолжительность «года» планет (см. табл. в гл. 18).

Данные о спутниках Юпитера (см. гл. 19). (Не пользуйтесь величинами радиусов орбит в единицах радиуса Юпитера, а используйте величины в милях. Времена даны в часах, преобразуйте их в единицы, которые вы использовали в других вычислениях.)

Данные о Земле:

Собственный радиус ~ 6300 км.

Время обращения вокруг оси 24 часа.

Радиус орбиты ~150 млн. км.

1 год ~= 365 дней ~= 3∙10⁷ сек.

Данные о Луне:

Радиус орбиты ~ 60 земных радиусов.

Собственный радиус ~1600 км.

1 месяц = 27,3 дня. (Это абсолютный период обращения Луны по отношению к звездам.)

Задача 5. Искусственные спутники

а) Предположим, что спутник Земли описывает круговую орбиту на высоте 6300 км чад поверхностью Земли, так что он находится на расстоянии 12 600 км от, центра Земли. Используя свои знания о движении планет, оцените время, которое требуется спутнику на один оборот по орбите.

Дайте ответ без сокращений, приведенный к округленному числу, выраженному в часах, или минутах, или днях, или годах. (Используйте любые данные, полученные в предыдущих задачах. Величина G вам не потребуется.)

б) Инженеры телевидения предлагают запустить спутник, который мог бы ретранслировать коротковолновые передачи, обеспечивая Западное побережье программами из Нью-Йорка. Им хотелось бы, чтобы спутник стоял на месте, находясь, например, все время над Чикаго, не используя двигателей для поддержания заданного положения.

Опишите движение такого спутника, наблюдаемого с далекого расстояния от Земли.

Рассчитайте высоту, на которой такой спутник мог бы находиться, (Дайте ответ в буквенном выражении, а затем в километрах.)

в) Спутник совершает оборот вокруг Земли за 90 минут (относительно звезд).

Предполагая, что его орбита круговая, оцените, на какой высоте над Землей находится такой спутник.

г) Предположим, что снаряд выпущен из пушки горизонтально с такой скоростью, что он никогда не упадет на Землю, а будет вращаться над самой Землей.

Какое время потребуется, чтобы снаряд возвратился в исходную точку (сопротивлением воздуха пренебрегаем)?

Оцените скорость снаряда.

Скорость, которую требуется определить выше, равна скорости точки на экваторе, если бы Земля стала вращаться со скоростью…(?)

д) (Требуется быстрый ответ — время 15 сек, по нему можно судить о том, насколько вы усвоили прочитанное.) Какое время потребовалось бы спутнику Земли, чтобы обойти ее по круговой орбите радиусом 400 000 км?

Задача 6. Атомная модель Бора

Бор создал простейшую модель атома водорода с электроном, движущимся по круговой орбите вокруг тяжелого ядра, в которой справедлив закон обратных квадратов для электрических сил. (Эта картина атома ныне считается неверной, но она еще применяется для объяснений, и даже физики, когда им нужна грубая картина, используют эту модель для прикидок.) Квантовая теория, сформулированная Бором, устанавливала, что могут существовать только те круговые орбиты, для которых

(Импульс электрона)∙(Размер орбиты) = n∙h,

еде h — универсальная постоянная Планка, a n — целое число 1, 2, 3 и т. д.).

а) С помощью законов Кеплера и Ньютона покажите, что радиусы разрешенных орбит должны быть пропорциональны n², т. е. 1:4:9… (Так что если невозбужденный атом имеет радиус х, то атом в возбужденном состоянии будет иметь радиусы 4х, 9х и т. д)

б) Радиус атома водорода (n ~= 1) примерно равен 0,5 А° (0,5∙10^-10 м). Возбужденные атомы водорода наблюдаются в звездах с n, равным 30. Каков «размер» такого атома?