Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия

Задача 2. Кинетическая теория газов (алгебра)

(Рассмотрим поведение молекул в сосуде на основе алгебры. К задаче следует приступать после того, как сделана и проверена задача 1.)

Предположим, что в сосуде заключено N молекул (N молекул во всем сосуде, а не в каждом кубическом метре). Пусть длина сосуда равна а м, а размер передней и задней стенок Ь x с м². В процессе хаотического движения со множеством соударений молекулы обмениваются импульсами и скорость их не остается постоянной. Однако мы полагаем, что если температура поддерживается постоянной, то их скорость близки к некой средней скорости, которую мы обозначим через

v м/сек. Чтобы вычислить давление на стенку сосуда, мы должны учитывать только удары об эту стенку. Таким образом, для упрощения задачи мы считаем, что N молекул подразделяются на три равные группы, одна из которых движется вверх и вниз, другая влево и вправо, а третья — взад и вперед.

При вычислении давления на переднюю стенку мы учитываем только последнюю группу. Из соображения симметрии все N молекул должны разделиться между этими тремя группами поровну. Приняв эти предположения, ответьте на следующие вопросы, считая, что масса одной молекулы равна m кг.

1) При лобовом ударе молекулы о переднюю стенку и отражении изменение импульса равно ___.

2) Между двумя последовательными ударами о переднюю стенку молекула летит к задней стенке и возвращается, проходя полное расстояние ___ м.

3) За время t сек молекула, летящая со скоростью v м/сек, проходит расстояние ___ м.

4) Таким образом, в течение t

сек молекула ___ раз возвратится назад и столько же рае ударится о переднюю стенку.

5) За время t сек молекула ___ раз ударится о переднюю стенку, передавал при каждом ударе импульс ___.

6) Таким образом, полное изменение импульса передней стенки из-за ударов одной молекулы за время t сек равно ___.

7) Но в сосуде находится N молекул, из которых ___ движутся взад и вперед. Полное изменение импульса передней стенки из-за ударов всех молекул в течение t сек равно ___.

8) Но F∙t = Δ(импульса), т. е. F = Δ(импульса)/

t, а в нашем случае средняя сила, действующая на переднюю стенку сосуда на протяжении t сек, равна[126] ___.

9) Давление = (сила)/(площадь), а площадь передней стенки равна ___.

Таким образом, среднее давление на переднюю стенку равно ___.

10) Объем сосуда равен ___.

Таким образом, произведение (давление)-(объем) = ___.

Но m — масса одной молекулы, а их всего N

, так что полная масса газа в сосуде, М кг = ___ кг.

Подставляя М в написанное выражение, находим:

(давление)∙(объем) = ___.

11) Если мы работаем с закрытым сосудом, исключающим утечку газа, то масса М постоянна.

Предположим, что температура также поддерживается постоянной. Тогда опыты показывают, что средняя скорость v будет оставаться постоянной. Если объем изменяется, то, согласно п. 10, ___.

12) Если мы измеряем объем газа, скажем в колбе, его массу (взвешивая колбу с газом и после его удаления) и с помощью барометра давление, то п. 10 дает возможность получить очень важную информацию — вычислить величину ___, которая представляет ___ молекул.

13) Единицы измерения. Если в п. 12 объем брался в м³, то массу нужно брать в ___, а давление должно измеряться в ___.

14) Из нашей теории получены два полезных предсказания: поведение газа п. 11 и заключение п. 12. Кроме того, получатся и другие результаты, но да все это нужно заплатить предположениями, которые легли в основу всего механизма. Выпишите на отдельном листе все предположения, сколько сможете,

а) относительно общих законов, применяемых к молекулам;

б) относительно предполагаемых свойств молекул, их поведения, размеров и т. д.