Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия

Каждая скорость v разложена на три составляющие _xv, _yv и _zv, параллельные граням сосуда. Затем по _xv² вычисляется давление и мы приходим к тому же результату.

Разложим вектор v₁ на три компоненты по осям х, у и z, параллельным стенкам. Тогда v₁ будет результирующей компонент скоростей _xv₁ вдоль оси х, _yv₁ вдоль оси у, a _zv₁, вдоль оси z. Поскольку оси взаимно перпендикулярны, то по теореме Пифагора

v₁² = _xv₁² + _yv₁² + _zv₁²

для молекулы 2

v₂² = _xv₂² + _yv₂² + _zv

₂²

для молекулы 3

v₃² = _xv₃² + _yv₃² + _zv₃²

…

и т. д.

v_N² = _xv_N² + _yv_N² + _zv_N²

Сложим все эти равенства:

(v₁² + v₂² + v₃² +… + v_N²) =

= (_xv₁² + _x

v₂² + _xv₃² +… + _xv_N²) +

+ (_yv₁² + _yv₂² + _yv₃² +… + _yv_N²) +

+ (_zv₁² + _zv₂² + _zv₃² +… + _zv_N²)

Фиг. 8.Составляющие скорости.

По теореме Пифагора v₁² = _xv₁

² + _yv₁² + _zv₁²

Разделив на число молекул N, получим среднее значение:

v^¯2 = _xv^¯2 + _yv^¯2 + _zv^¯2

Призовем теперь на помощь соображения симметрии и потребуем (игнорируя малые отклонения за счет гравитации), чтобы все три средних в правой части уравнения были равными; случайное движение большого числа молекул должно давать одно и то же распределение скоростей в любом направлении:

_xv^¯2 = _yv^¯2 = _zv^¯2

т. е.

v^¯2 = 3∙_zv^¯2

Чтобы получить давление на стенку сосуда, мы будем дальше рассуждать по аналогии с задачей 2, используя _xv — составляющую скорости молекул вдоль сосуда. (Именно эта составляющая скорости и нужна нам, ибо _yv и _zv влияют только на движение от одной боковой стенки к другой и не участвуют в передаче импульса нашим стенкам.) Поэтому вклад молекулы 1 в произведение (давление)∙(объем) будет m∙_xv₁^¯2, а вклад всех N молекул будет

m

∙(_xv₁² + _xv₂² + … + _xv_N²), или m∙N∙_xv^¯2

Но он равен m∙N∙(v^¯2/3), так что

ДАВЛЕНИЕ∙ОБЪЕМ = ¹/₃ N∙m∙v^¯2

Предсказания кинетической теории газов

Рассмотрение молекулярных столкновений и законы Ньютона привели нас к выводу, что

ДАВЛЕНИЕ∙ОБЪЕМ = ¹/₃ N∙m∙v^¯2

Он напоминает закон Бойля. Множитель ¹/₃ постоянен; N — число молекул — тоже постоянно (если они не улетают и не распадаются); m — масса молекул — постоянна. Поэтому если средняя скорость остается постоянной, то постоянно и ¹/₃ N∙m∙v^¯2, а следовательно, постоянно и p∙V, как обнаружил Бойль. Но остается ли неизменной скорость молекул? Сейчас мы не можем гарантировать это.

Но давайте на минуту забежим вперед и предположим, что молекулярное движение связано с тепловым состоянием газа и что при постоянной температуре средняя скорость молекул газа постоянна, как бы мы его ни сжимали[128]. Объяснение этого факта вы получите позднее, а сейчас примите его на веру. Сделав это, найдем:

Для газа при постоянной температуре произведение p∙V постоянно.

Более простая форма получится, если вместо объема изменять плотность: удвойте число молекул в том же сосуде, и давление удвоится.