Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия

Трудности простейшей теории

Выражение, которое вы получили в задаче 2, по-видимому, приводит к непрерывному давлению молекул на стенку, предсказываемому законом Бойля. Но как может град ударов молекул создать непрерывное давление? Разве что они будут сыпаться c такой частотой, что сольются в постоянную силу. Для этого молекулы газа должны быть очень малы и многочисленны. Если они малы, то любая твердая преграда наподобие стенок сосуда будет казаться массивной по сравнению с отдельной молекулой. Тогда при соударении стенка сглаживает передаваемые ей импульсы в постоянное давление, которое мы и наблюдаем. (Что бы вы увидели, если бы стенки сосуда были столь же легкими, как сами молекулы?)

В приведенных задачах предполагалось, что молекулы летят от одной стенки к другой, не сталкиваясь по пути друг с другом, а ведь они, разумеется, сталкиваются, и без дальнейшей информации мы не сможем сказать, насколько часто. Как это повлияет на наши предсказания?

Фиг. 6.Сглаживание ударов.

_{Заштрихованная площадь — полная величина F∙Δt.}

Задача 3. Столкновения в простейшей теорпи

а) Покажите, что для простых рассуждений в задачах 1 и 2 не имеет значения, сталкиваются молекулы или нет. (Рассмотрите две молекулы, которые движутся взад и вперед, от одной стенки к другой и при встрече проходят друг над другом без соударения. Затем предположите, что они сталкиваются лоб в лоб и отскакивают назад. Почему их вклад в давление не изменится? Объясните это с помощью чертежа.)

б) Какие специальные предположения о свойствах молекул требуются для ответа на поставленные выше вопросы?

в) Предположим, что молекулы, стали очень большими (сохранив, однако, свою скорость, массу и т. д.). Как это повлияет на давление вследствие их соударений? Возрастет ли оно, уменьшится или останется прежним?

г) Дайте ясное обоснование вашего ответа на предыдущий вопрос.

Молекулярный хаос

Молекулы сталкиваются друг с другом и со стенками совершенно случайным образом (лоб в лоб, под углом, вскользь) и поэтому не могут сохранять постоянную скорость v. Одни набирают скорость при соударениях, другие же теряют ее. Газ представляет собой хаос случайно движущихся молекул, скорости которых (при каждом соударении) могут изменяться в широких пределах. Но все же должно соблюдаться некое постоянство — ведь газ оказывает постоянное давление.

Выражение p∙V = ¹/₃ (N∙m∙v^¯2) вовсе не подразумевает, что все N молекул движутся с одной и той же скоростью и каждая дает вклад mv^¯2. Мы говорим, что молекула 1 движется со скоростью v₁, молекула 2 — со скоростью v₁ и т. д, а молекула N — со скоростью v

_N. Тогда[127]

p∙V = ¹/₃ (mv₁² + mv₂² +… + mv_N²) =

= ¹/₃ [m∙(

v₁² + v₂² +… + v_N²)] = ¹/₃ m∙(N∙Среднее v²)

Следовательно, v² в нашем выражении должно быть средним v^¯2

. Именно поэтому мы ставим над ней черточку, обозначающую среднее значение. Так что теоретическая формула приобретает вид

ДАВЛЕНИЕ∙ОБЪЕМ = ¹/₃ m∙(N∙v^¯2)

Мы знаем, что если поместить газ в сосуд, то его давление с течением времени не будет прыгать вверх и вниз; давление и объем остаются постоянными. Следовательно, несмотря на все происходящие при столкновениях изменения, средняя скорость молекул v^¯2 остается постоянной. Таким образом, теория уже помогла нам навести порядок в молекулярном хаосе — получить постоянную v^¯2.

Более элегантный вывод

Введение множителя ¹/₃ для большинства выглядит как искусственный трюк. Вот более элегантный метод, в котором скорости молекул складываются с помощью простейших правил статистики. Предположим, что молекула 1 движется в сосуде со скоростью v₁ под углом к стенке (фиг. 7).

Фиг. 7.Другое рассмотрение движения молекул газа.