Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия

S² = (x₁ + x₂ +… + x_N)² + (y₁ + y₂ +… + y_N)² =

= х₁² + x₂

² +… + 2х₁x₂ + 2х₁x₃ +… + y₁² + y₂² +… + 2y₁y₂ + 2y₁y₃

 +… =

= L² + L² + НУЛЬ = N∙L²

«Смешанные слагаемые», наподобие 2х₁x₂, при усреднении по многим блужданиям дают нуль, ибо эти слагаемые могут одинаково часто быть как положительными, так и отрицательными и иметь величину от 0 до 2L². То же справедливо и для «смешанных слагаемых» с у. Поэтому среднее значение S = √(N)∙L

Доказательство станет нагляднее, если применит тригонометрию и разложить каждый шаг на горизонтальную и вертикальную компоненты: L∙cos θ и L

∙sin θ. Тогда пара смешанных слагаемых, наподобие 2L²∙cos θ₁∙cos θ₂ и 2L²∙sin θ₁∙sin θ₂, складывается в 2L²∙cos (θ₁ — θ₂), а косинус одинаково часто бывает как положительным, так и отрицательным, давая в среднем нуль.

* * *

При столкновении двух молекул расстояние между их центрами равно радиусу одной + радиус второй молекул, т. е. диаметру d

. Для упрощения будем считать, что радиус одной из сталкивающихся молекул равен d, а вторая молекула — просто точка (фиг. 101).

Фиг. 101.Упрощенная геометрия свободного пробега.

Расстояние между их центрами при соударении прежнему будет d. Представим теперь, что мы стреляем точечной молекулой по системе из ячеек с ребром D, каждая из которых содержит по одной молекуле-мишени радиусом d (фиг. 102). Летящая молекула проходит первый ряд ячеек, но, вероятнее всего, не попадает в цель, которая находится где-то внутри ячейки.

Фиг. 102.Средний свободный пробег.

_{Точечная молекула пронизывает ячейки. Сколько должна она пролететь ячеек до соударения? Молекуле, нацеленной на переднюю грань площадью D², должно казаться, будто молекулы задних ячеек мишени заполняют своими кружочками площадью πD² всю грань.}

Другой способ рассуждений. Вместо «раздувания» молекулы-мишени можно выстрелить «раздутой» молекулой, сжав остальные молекулы в точки, когда площадь поперечного сечения летящей молекулы равна πd². Во время полета она заполняет трубку с таким поперечным сечением; при каждом столкновении эта трубка изгибается (фиг. 103).