Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия

Когда в такую «трубку» попадает молекула-мишень, происходит столкновение, а не попавшие в трубку молекулы остаются «за бортом». Между двумя последовательными соударениями молекула пролетает средний свободный пробег, так что заполненный объем равен

(ПЛОЩАДЬ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ) ∙ (СРЕДНИЙ СВОБОДНЫЙ ПРОБЕГ),

или πd²L

Но заполняя этот объем, она сталкивается только с одной молекулой, так что этот объем равен также D³, т. в. размеру ячейки, занимаемой одной молекулой газа. Следовательно, πd²L = D³, или L = D³/πd², как и выше.

Еще более простой метод

. За счет более смелых предположений можно прийти к оценке d даже без всякой геометрии и «труб». Будем рассуждать так. Поместим некое количество обычного воздуха в высокий цилиндр. Нажмем на поршень и сожмем воздух в 750 раз, чтобы молекулы сгрудились столь же тесно, как в жидком воздухе. (Если хотите, охлаждайте воздух до тех пор, пока он не станет жидким). Сгрудившиеся молекулы служат лучшей мишенью, так как средний свободный пробег станет в 750 раз меньше. Попытаемся теперь догадаться, каков будет средний свободный пробег молекул в воздухе, сжатом до плотности жидкости. Сообразите-ка, сколько ячеек должна пролететь одна молекула, чтобы удариться о другую, учитывая при этом расстояние не от центра до центра, а от поверхности до поверхности. Это трудная задача.

Попытайтесь создать собственный метод и вот вам несколько наводящих соображений. Если бы среднее расстояние между соседними молекулами составляло один диаметр, то они сталкивались бы довольно часто, но все же свободного места оставалось бы еще столько, что они вели бы себя как газ, а не как жидкость. (Вспомните, что жидкости почти несжимаемы; давление в 20 000 атм сжимает воду лишь на 25 %.) Если же молекулы сгрудились настолько, что каждая проходит всего ¹/₁₀ диаметра до столкновения с другой, то они практически оказались бы связанными, как в твердом теле. Изобразите молекулы кружками на бумаге или одинаковыми монетами на столе, посмотрите, какой средний свободный пробег соответствует расстояниям от 0,1d до d.

Допустим, вы выбрали ³/₄ d, тогда можно сказать:

Средний свободный пробег в тесноте L/750 = (3/10)∙d

т. е.

800∙10^-10/750 = (3/10)∙d

следовательно,

d = 3,6∙10^-10 м = 3,6 А°.

(Нетрудно получить правильный ответ, выбрав для среднего свободного пробега нужную долю d, но это нечестно. Честнее установить верхний предел или оценить пробег из представления о строении молекул, причем не следует забывать, что это лишь приближенная оценка.)

Итак продолжаем.

Сколько же слоев ячеек должна пройти молекула, чтобы можно было гарантировать одно соударение? Об этом говорит нам средний свободный пробег. Площадь лицевой грани ячейки равна D², но молекула-мишень «подставляет» под обстрел только «яблочко» площадью πd². Предположим, что до соударения молекула должна пролететь X ячеек. Она видит перед собой X «яблочек», которые, будучи рассыпаны совершенно случайно, не перекрывая друг друга, должны заполнять площадь «входного окна» D², т. е. Х∙πd² = D², или Х = D²/πd². Полный путь через эти ячейки равен X∙D, но, с другой стороны, он равен среднему расстоянию, пройденному между двумя соударениями, т. е. среднему свободному пробегу L

:

СРЕДНИЙ СВОБОДНЫЙ ПРОБЕГ L = X∙D = (D²/πd²)∙D = D³/πd²

или

Lπd² = D³ = 750∙d³

d = Lπ/750 = 800 A°∙3.14/750

Подставляя нашу оценку для L, получаем

d ~= 3,4 A°, или 3,4∙10^-10 м

Наш частный пример дал величину d = 3,4 А°. Подобные соображения обычно дают значения между 2 и 7 А°. Мы уже говорили, что это «символическое» измерение, проверка принципа, которая показывает способ извлечения характеристик микромира (масштаба размеров атома) из макроскопических (масштаба человека) измерений и теории.

Читателю следовало бы самому проделать такой опыт и составить свою оценку. Точные измерения и совершенная теория дают величину 3,72 А°. Все же такая оценка, основанная на представлении о том, что молекула есть твердый шар, кажется искусственной. Однако она подтверждается более надежными оценками для массы и размеров молекул, основанными на методах, использующих значение заряда электрона, определенное в опытах Милликена. Мы будем считать отныне размер молекулы равным 3,72 А°, но записывать будем 3 ³/₄ А°, отразив таким образом наши сомнения.

Расстояние между молекулами в воздухе будет тогда около 9∙3³/₄, или ~ 35 А°, так что для атмосферного воздуха получаются такие оценки;

∙ Размер (наибольшее сближение при столкновении)… 3 ³/₄ А°

∙ Удаленность (среднее расстояние между соседями)… 35 А°

∙ Средний свободный пробег (между соударениями)… 600—1000 А°

∙ Скорость (средняя)… 500 м/сек

Более полное статистическое исследование приводит к среднему свободному пробегу 650 А°.

Задача 10

Исходя из данных приведенной ваше таблицы, вычислите количество соударений в секунду молекулы воздуха при атмосферном давлении.