Физика пространства - времени

.

m

1

-

cos

1+2m/T

в) При заданной кинетической энергии сталкивающегося позитрона T максимальная энергия гамма-кванта реализуется при cos =1, т.е. =0, и равна

E

m

макс

=

1

1-(1+2m/T)^1^/^2

.

Минимальная энергия фотона соответствует cos =-1, т.е. =, и равна

E

m

мин

=

1

1+(1+2m/T)^1^/^2

.

г) При очень малых T (очень больших отношениях m/T) максимальная и минимальная энергии приближённо равны друг другу:

E

m

макс

E

m

мин

1

(малые

T

).

Каждый фотон уносит энергию, равную энергии покоя одного электрона; первоначальной кинетической энергией можно пренебречь.

При очень больших T (очень малых отношениях m/T) максимальная и минимальная энергии испущенных фотонов резко отличаются друг от друга:

E

макс

1

=

T

,

m

1

-

1

-

m

m

T

E

m

мин

1

2

(большие

T

).

В этом случае самый богатый энергией из испущенных фотонов уносит с собой кинетическую энергию сталкивающегося позитрона, которая очень велика. Минимальная энергия здесь составляет половину массы покоя электрона.

98. Проверка принципа относительности

Рис. 161.

а) Схему на рис. 122 можно представить в виде диаграммы (рис. 161). Законы сохранения записываются как

E

+

m

=

E

+

E

,

p

=

E

cos 30°

-

E

sin 30°

,

0

=

E

sin 30°

-

E

cos 30°

.

Из последних двух уравнений следует

E

=

E

sin 30°

cos 30°

=

0,58

E

,

и

p

=

E

cos 30°

-

sin^2 30°

cos 30°

=

0,58

E

.

Подставляя эти выражения в уравнение для сохранения энергии, найдём

E

+

m

=

p

0,58

+

p

=

2,75p

=

2,75

E^2-m^2

=

=

2,75

E+m

E-m

или

E+m

=

2,75

E-m

.

Возводя в квадрат, получим

E+m

=

7,6

(E-m)

,

откуда следует величина энергии

E

=

1,3m

.

Кинетическая энергия налетающего позитрона, регистрируемого таким способом, равна

T

=

E

-

m

=

0,3m

=

0,3·0,5·10

эв

=

150

кэв

.

При этом скорость не близка к единице, и её величину приходится находить непосредственным вычислением:

E

=

m ch

_r

=

m(1-^2)

^{- 1/2}

=

1,3m

,

1

-

^2

=

0,59

,

=

0,64

.

б) Следовало бы регистрировать разность времён между попаданиями гамма-квантов в счётчики A и B, расположенные на равных расстояниях от мишени. Если бы такая разность была обнаружена, она свидетельствовала бы о различии величины скорости света в зависимости от того, вперёд или назад был он испущен движущейся частицей. Соответствующие экспериментальные результаты приведены на рис. 123.

99. Отождествление частиц по трекам в пузырьковой камере

а) Лабораторная система отсчёта является одновременно и системой центра масс; в ней законы сохранения принимают вид

m

=

E

+

E

_x

=

p

^2+m

^2

+

p

_x

^2+m

_x

^2

,

p

=

58,2m

_e

=

p

_x

.

Подставим значение p, следующее из второго уравнения, в первое и используем значения масс покоя мезонов, указанные в условиях задачи. С точностью логарифмической линейки найдём

58m

_e

=

58,2m

_e

+m

_x

^2

.

Это уравнение заставляет думать, что m_x либо точно равняется нулю, либо намного меньше, чем m_e.

б) Спиновый момент импульса неизвестной частицы должен уничтожаться в сумме со спиновым моментом +-мезона 1/2 h. Отсюда следует, что спиновый момент неизвестной частицы по абсолютной величине равен 1/2 h и направлен в сторону, противоположную спиновому моменту +-мезона.

100. Накопительные кольца и встречные пучки

Рис. 162.

В лабораторной системе отсчёта полная величина энергии, которая может реализоваться во взаимодействии, равна суммарной кинетической энергии сталкивающихся электронов, т.е. 500 Мэв

+ 500 Мэв = 1000 Мэв = 1 Бэв, плюс энергия покоя этих электронов, т.е. 1/2 Мэв + 1/2 Мэв = 1 Мэв, которой можно пренебречь по сравнению с кинетической энергией. В любой другой системе отсчёта полная величина энергии, которая может реализоваться во взаимодействии, будет такой же. На рис. 162 представлены ситуации в лабораторной системе и в системе отсчёта ракеты. В последней один из электронов первоначально покоится; найдём кинетическую энергию другого. Частица 1 может покоиться в той системе, параметр скорости которой определяется соотношением

E

=

m ch

_r

или

ch

_r

=

E

m

T

m

1000

.

При столь больших скоростях из равенства (89), Ep, следует, что sh _rch _r1000. Поэтому формула преобразования энергии записывается для частицы 2 (с импульсом -p) в виде

E'

=

E

ch

_r

-

p

sh

_r

=

E

ch

_r

-

p

sh

_r

2E

ch

_r

2E

T

m

(2·500

Мэв

)·1000

=

=

10

Мэв

=

10^3

Бэв

.

Такова кинетическая энергия, которую следует придать одиночному электрону, налетающему на покоящийся электрон, чтобы полная энергия, которая может реализоваться во взаимодействии, составляла 1000 Мэв.

Если взять для протонов (у которых m=1 Бэв) E'=10^3 Бэв, то, читая предыдущие соотношения в обратном порядке, получим

2E

_p

=

T_p

m

2

T_p^2

m

10^3

Бэв

или

T

_p

^2

=

m

2

·

10^2

Бэв

^2

500

Бэв

^2

,

T

_p

=

22

Бэв

.

Значит, протоны, «консервируемые» в накопительных кольцах, должны обладать энергией 22 Бэв, и полная энергия взаимодействия составит 22+22+1+1=46 Бэв.

101. Де Бройль и Бор

Из упражнения 72 известно, что

E

=

p

=

h

c^2

.

однако

=

c

,

так что

p

=

h

c

или

=

h

pc

=

h

p_обычн

,

где p_обычн=pc — импульс, выраженный в обычных единицах. Потребуем, чтобы для электрона, движущегося по орбите вокруг ядра, выполнялось равенство

n

=

2r

,

n

=

1,

2,

3,

…,

или

nh

p_обычн

=

2r

,

или

rp

_обычн

=

n

h

2

=

nh

,

n

=

1,

2,

3,

…,