Геометрия, динамика, вселенная

Уже упоминалось ранее, что точка иногда определяется как геометрический объект, не имеющий протяженности. Поэтому напрашивался вывод, что точка в таком понимании не имеет структуры. Однако критический анализ основных понятий геометрии, а также внутренние, имманентные законы развития дифференциальной геометрии стимулировали создание и развитие нового математического образа — расслоенного пространства. Первые работы, в которых формировались основные понятия расслоенных пространств и их связи с другими разделами математики, относятся к 30 — 50-м годам и принадлежат выдающимся математикам: Э.Картану, Х.Уитни, Ш.Эресману, Ш.Черну.

Вначале казалось, что этой новой ветви математики уготована участь многих ее разделов: служить красивой абстракцией, не связанной с физической реальностью. Основания для подобных прогнозов были. Фундаментальное понятие точки у расслоенных пространств отличалось от интуитивного образа бесструктурной точки. Однако эволюция физики, и в первую очередь квантовой теории поля, физики элементарных частиц и космологии, привела к сближению представлений о точках в физике и расслоенных пространствах. Постепенно начал вырисовываться абрис синтеза фундаментальной физики и геометрии на базе расслоенных пространств. По нашему мнению, можно высказать и более сильное утверждение: существует «истинное» физическое пространство, которое реализуется в терминах расслоенных пространств.

Если такая несколько претенциозная формулировка выглядит экстремистской, то более ограниченное утверждение: объединенная теория взаимодействий допускает геометрическую интерпретацию на базы расслоенных пространств — кажется бесспорным. Необходимость такого заключения оказалась для физики несколько неожиданной. Даже творцы теории элементарных частиц оказались неподготовленными к вторжению математики расслоенных пространств в физику. В этом аспекте характерен диалог физика Ч.Янга с одним из основоположников геометрии расслоенных пространств Ш.Черном.

Янг: «Это (расслоенные пространства. — И.Р.) приводит в трепет и изумление, поскольку вы, математики, выдумали эти понятия из ничего».

Черн: «Нет, нет! Эти понятия вовсе не выдуманы. Они существуют на самом деле».'

------------------------------' Янг Ч. Эйнштейн и физика второй половины XX века // УФН. 1980. Т.132. С.174. О расслоенных пространствах см. также ст.: Даниэль С., Виалле М. Геометрический подход к калибровочным теориям типа Янга — Миллса // УФН, 1982. Т.136. С. 377–420; Бернстейн Г., Филлипс Э. Расслоения и квантовая теория // УФН. 1982. Т.136. С. 665–692. ------------------------------

Этот диалог весьма примечателен. Математики часто строят конструкции, кажущиеся физикам абстрактными, не связанными с физическими ценностями. Разные подходы математиков и физиков приводят к недооценке адекватности некоторых «абстрактных» математических методов физическим проблемам. В результате эти методы заново переоткрываются физиками. Пожалуй, классический пример подобной ситуации переоткрытие В.Гейзенбергом в 1925 г. матричного исчисления, которое он использовал для создания квантовой механики. Лишь после бесед с М.Борном он узнал, что теория матриц — хорошо разработанный раздел математики практически не используемый физиками.

После этих предварительных замечаний целесообразно перейти к изложению основных идей геометрии расслоенных пространств. Начнем с представления основных образов (картин) расслоенных пространств.

Первый связан с обобщением понятия точки. Точка в расслоенном пространстве эквивалентна автономному пространству. Иначе говоря, можно наглядно представить, что точка в расслоенном пространстве эквивалентна точке в смысле Евклида (объект, лишенный протяжения), к которой «прикреплено» (или лучше: которой соответствует) свое пространство. Можно представить расслоенное пространство в целом. Оно представляет совокупность большого числа (как правило, бесконечного множества) пространств, из которых одно, называемое базой, играет особую роль. Каждая точка этого пространства взаимно однозначно связана со своим пространством, называемым слоем над базой. Каждой точке в базе соответствует свое пространство (слой), отражающий структуру точки.

Приведем некоторые простейшие примеры расслоенных пространств. Пусть база — прямая, т. е. евклидово одномерное

1 пространство' R|. Каждой точке базы — прямой — соответствует

1 окружность S|, расположенная в плоскости, перпендикулярной базе, центром которой является данная точка базы. Радиусы всех окружностей одинаковы. Расслоенное пространство определено однозначно. В данном случае размерности слоев и базы одинаковы и равны 1. Полное расслоение пространства представляет цилиндр и его ось.

------------------------------' Символом R часто обозначают риманово пространство, частным случаем которого является пространство Евклида. Индекс вверху обозначает размерность пространства. Символ S

1 соответствует сферическим пространствам: S| — окружность,

2 S| — двумерная сфера и т. д. —----------------------------