Геометрия, динамика, вселенная

Чтобы понять основные идеи геометрии поверхностей, обратимся вначале к привычным образам евклидовой плоскости двумерного пространства и двумерной сферы, рассматриваемой как автономное пространство. Известно, что основным свойством евклидова пространства является изотропия и однородность — полная эквивалентность его точек. Однако этого фундаментального свойства евклидова пространства недостаточно для его однозначного определения. Утверждение, что однородное и изотропное пространство есть пространство Евклида, не точно, поскольку этому свойству однородности и изотропии удовлетворяет также и сфера: все ее точки также эквивалентны относительно поворотов осей координат и их трансляции. Иначе говоря, глобальные относительно этих операций свойства обоих пространств одинаковы. Чтобы их количественно отличить, нужно ввести локальные характеристика, характеризующие различие плоского и сферического пространств. Иначе говоря, нужно определить величину, характеризующую кривизну сферической поверхности сравнительно с евклидовым пространством.

В рамках глобальной неевклидовой геометрии (как мы отмечали ранее) отличие геометрии от евклидовой характеризуется отклонением суммы углов треугольника от π или (что то же самое) отклонением от теоремы Пифагора. Рассмотрим теперь малые участки обеих пространств. Для них квадрат интервала ds**2 между двумя достаточно близкими точками представляется выражениями:

ds**2=dx**2 + dy**2 (плоскость) (1)

ds**2=r**2 sin**2 θ d FI + r**2 d FI**2 (сфера) (2)

r, θ, FI — соответственно радиус, полярный и азимутальные углы. Однако в косоугольных координатах квадрат интервала и плоскости имеет вид

s**2=dx**2 + dy**2 + 2 dx dy cos ALPHA

Хотя численное значение интервала остается неизменным (квадрат длины вектора — инвариант относительно замены системы координат), тем не менее форма (3) имеет более сложный вид, чем соотношение (1). Однако выражения (1) и (3) для квадрата интервала имеют лишь разные формы. Различие форм отражает разницу в выборе системы координат. Изменяя систему отсчета, можно во всей евклидовой плоскости интервал ds**2 свести к простой форме (1).

С выражением (2) интервала на сфере дело обстоит совсем по-другому. Форму (2) никаким преобразованием координат нельзя свести к простому соотношению (1) на всей сфере одновременно. Такую процедуру можно проделать лишь локально, выбирая направление на маленьком участке сферы так, чтобы θ=π/2. Однако при таком выборе система координат фиксируется применительно у этому участку сферы. Поэтому глобально для всей сферы соотношения (2) и (1) различаются, что и отражает неевклидовость сферы. Локально — в малом сферу можно аппроксимировать частью плоскости; глобально — в целом — невозможно.

Представление участка сферы плоскостью довольно тривиальная процедура. Любую малую окрестность достаточно гладкой поверхности можно в первом приближении аппроксимировать плоскостью по аналогии с тем, что отрезок ds непрерывной кривой, описываемой дифференцируемой функцией f(x), представляется в окрестности точки x отрезком прямой длины

ds={[f'(x)]**2+1}**(1/2) dx. (4)

Малый участок достаточно гладкой поверхности обладает следующими свойствами:

1. В малом однозначно определяется прямая — кратчайшее расстояние между двумя точками.

2. В малом определяется однозначно вектор и скалярное произведение двух векторов.

3. Скалярное произведение двух векторов однозначно определяет свойства пространства. Инвариантность скалярного произведения относительно вращений и трансляций определяет евклидово пространство, что и отражено в аналоге равенства (3):

ds**2=dx| dx|=dx|**2 + dx|**2 + 2 dx| dx| cos ALPHA (5)

1 2 1 2 1 2

Это рассуждение — геометрический аналог аналитического соотношения (4). Выбор интервала ds**2 в виде квадратичного выражения принципиален. Квадрат — наименьшая степень, при которой интервал сохраняет свою величину (инвариантен) относительно весьма широкого класса преобразований. В принципе можно было бы опираться на выражения интервалов через многочлены более высокой четной степени, однако, как оказалось, подобная усложненная геометрия практически современной физике не нужна.

Итак, в дифференциальной геометрии фундаментальную роль играет интервал и его инвариантность относительно широкого класса преобразований. Выражение (3) записывается обычно в следующей форме:

ds**2 = g|| dx| dx|, (6)

ik i k

где наличие общих индексов означает суммирование по всем возможным их значениям. Для двумерной поверхности i,k=1,2; для трехмерной — i,k = 1,2,3 и т. д.

Величины g|| образуют метрический тензор и

ik представляются квадратной таблицей (матрицей). Вследствие симметрии (g||=g||) метрический тензор в общем случае

ik ki характеризуется N(N+1)/2 компонентами.

Для пространства Евклида все компоненты метрического тензора можно привести к простейшему виду во всех точках пространства: g||=0, если i\=k; g||=1, если i=k. Это правило