Геометрия, динамика, вселенная

Перейдем далее к определению общности свойств функций, описывающих состояние систем. Разумеется, речь идет о фундаментальных свойствах, общих для всех систем достаточно широкого класса (например, материальных точек).

На математическом языке это означает, что уравнения, определяющие изменение функций состояния во времени, инвариантны относительно определенных групповых преобразований.` Простейшим примером такой инвариантности является трансляционная инвариантность. Простейшим примером такой инвариантности является трансляционная инвариантность уравнений Ньютона. Ни уравнения, ни физическое состояние системы не меняются при замене x' — > x+a, где a — некое постоянное число. Можно привести и другой пример групповой инвариантности. Рассмотренное ранее в гл.1 вращение системы координат также оставляет уравнения механики инвариантными. Группа, соответствующая вращению N-мерной сферы, называется группой вращения. Можно сказать, что уравнения механики (впрочем, это относится также и к электродинамике, хромодинамике и ко всем взаимодействиям, кроме гравитационного) инвариантны относительно преобразований группы трехмерных вращений, что отвечает изотропии трехмерного пространства Евклида.[9]

Однако основная идея объединения взаимодействий относится не к макроскопическому пространству Евклида, а к «внутреннему» пространству элементарных частиц, отражающему их квантовые числа (см. Дополнение). Это пространство проще всего отождествить с расслоенным пространством, где база пространство Минковского, а пространства, соответствующие квантовым числам элементарных частиц (спину, изотопическому спину и цвету — см. Дополнение), являются слоями. Слои можно представить как сферы, «прикрепленные» к каждой точке базы. Векторы состояний вращаются внутри сфер-слоев в соответствии с правилами квантовой механики.

Вообще говоря, нет априорных правил выбора этих слоев, и в частности их размерности. Видимое отсутствие этих правил отражает известный произвол в выборе квантовых чисел частиц — переносчиков взаимодействия. Поэтому на первый взгляд выбор этих квантовых чисел и масс частиц-переносчиков является лотереей, в которой выигрыш — счастливая случайность. Такой подход можно назвать феноменологических в том смысле, что в нем отсутствует руководящий принцип, ограничивающий выбор частиц-переносчиков. Однако сейчас господствует убеждение, что такой принцип существует. Это принцип калибровочной инвариантности, и его изложению и геометрической интерпретации будет посвящена значительная часть книги.

Пока же мы ограничимся замечанием, что выбор общей группы и является одной из трех проблем объединения взаимодействия. Наконец, последняя из перечисленных проблем, решение которых необходимо для создания объединенной теории взаимодействия, — устранение бесконечностей из результатов вычислений. Желательно, чтобы эти бесконечности отсутствовали бы и в промежуточных выкладках, однако необходимое условие замкнутости теории — отсутствие бесконечностей в окончательных результатах (перенормируемость теории). Сравнительно недавно существовала лишь одна перенормируемая теория — квантовая электродинамика. Объединение слабого и электромагнитного взаимодействия (теория Глешоу-Вайнберга-Салама) привело к тому, что рассматриваемая изолированно неперенормируемая теория слабого взаимодействия оказалась лишь частью целого красивой, перенормируемой теории электрослабого взаимодействия. Удалось построить такую теорию, что бесконечности скомпенсировали друг друга; в результате получились конечные результаты, превосходно согласующиеся с экспериментом.

Квантовая гравитация — существенно неперенормируемая теория. Можно сказать, что это свойство гравитации глубоко внутренне присуще ей. Естественный путь преодоления этого дефекта видится в построении теории, объединяющей все четыре взаимодействия — супергравитации, когда бесконечности, существующие в каждой изолированной теории, скомпенсируются. На этом пути есть определенные достижения, но расстояние до окончательной цели — построения полностью перенормируемой супергравитации — кажется еще весьма большим.

7. КАЛИБРОВОЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ

ОСНОВНОЙ ДИНАМИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП