Геометрия, динамика, вселенная

1. К тому времени четко определилось воззрение, что электромагнитное и гравитационное взаимодействия не исчерпывают все силы в природе. Появились доказательства существования сильного и слабого взаимодействий, кардинально отличных от первых двух. Для вновь открытых взаимодействий не было места в оригинальной схеме Калуцы или в схемах его современников.

2. В схеме не было оснований для выбора размеров окружности слоя. Было лишь ясно, что эти размеры очень малы (<<10**-13 см, т. е. много меньше радиуса действия ядерных сил), однако никакие столь малые характеристические размеры не имели теоретических основ.

3. Схема Калуцы не приводила ни к каким новым предсказаниям или интерпретациям фундаментальных фактов.

4. Физическое пространство в рамках этой теории имело довольно странный вид: три пространственных координаты имели огромную протяженность (~10**26 см — размеры Метагалактики), четвертая же координата имела циклический замкнутый характер с очень малыми размерами.

Все эти соображения привели к тому, что многомерными теориями занимались очень немногие физики.

Исключительно эффективная реставрация идеи многомерного физического пространства произошла через тридцать лет после описываемых событий, в середине 70-х годов. Можно назвать несколько важных причин этой реставрации.

Во-первых, значительные успехи в теории объединения взаимодействий. Правда, в основе этих успехов лежали идеи, существенно отличные от идей Калуцы — Эйнштейна. Объединение основывалось на квантовой теории поля.

Во-вторых, появилась теория, претендующая на объяснение сильного взаимодействия. Эта теория базировалась на идее существования кварков (квантовая хромодинамика; см. разд.6 гл.2).

В-третьих, в рамках теорий, объединяющих три или все четыре взаимодействия, появились очень малые масштабы. Первый масштаб (большое объединение трех взаимодействий) равен 10**-28 — 10**-29 см. Второй масштаб возник в рамках супергравитации (объединение всех четырех взаимодействий). Этот масштаб, так называемая планковская длина`,

HP G 1/2 -33 l| ~ (---) = 10 см. (54) p c**3

Эти расстояния — следствие огромных масштабов масс объединения (см. таблицу в разд.6).[14]

И наконец, последнее: появилось некоторое понимание природы размерности макроскопического пространства (N=3). Коротко (подробнее см. гл.3) можно сказать, что значение N=3 — результат некоторых случайных процессов, природа которых до конца не установлена. Однако можно допустит ь, что «истинная» размерность пространства в различных областях Вселенной не одинакова, поэтому «странная» геометрия Калуцы оказывается в определенном смысле естественной.

До сих пор мы почти одновременно говорили о совместной геометрической интерпретации электромагнитного и гравитационного взаимодействий и существовании других (слабого и сильного) взаимодействий, которые как будто не укладываются в схему Калуцы.

Ранее указывалось, что решение этой проблемы появилось в результате создания теории взаимодействия кварков (квантовая хромодинамика) и успехов в объединении электромагнитного и слабого взаимодействий (теория Глешоу Вайнберга — Салама). Наша формулировка неточна. На самом деле квантовая хромодинамика не вошла в арсенал достижений физики как теория, интерпретирующая взаимодействие кварков.

Оказалось, что уравнения Янга — миллса хорошо хорошо описывают взаимодействие кварков в определенных границах, которые по существу являются пределами применимости квантовой хромодинамики. Частица со свойствами, весьма близкими к частице Янга — Миллса, получила название глюона и оказалась переносчиком сильного взаимодействия между кварками (см. Дополнение).

В основе теории Янга — Миллса лежат калибровочные соотношения

i g T(x) 1 ∂ a PSIG' = Ψ e||||||||, A' — > A + [aA] —- —--, (55)

g ∂ x

g=const, a=a(x).

Соотношения (55) определяют уравнения Янга — Миллса и очень похожи на условия (48), (49) калибровочной инвариантности в электродинамике. Однако есть и два существенных отличия: 1) в уравнениях (55) T(x) не число, а квадратная матрица и 2) в условие преобразования вектор-потенциала A входит дополнительный член [a,A] (наличие такого члена приводит к тому, что вектор A не только инвариантен относительно смещения, но и относительно вращения в изотопическом пространстве). Эти две, казалось бы, несущественные особенности радикально отличают уравнения Янга — Миллса от уравнений электродинамики.

Отметим в них то, что нам потребуется в дальнейшем. Во-первых, свойства матриц T существенно отличаются от свойств алгебраических чисел ALPHA. Числа характеризуются свойствами коммутативности (ALPHA|ALPHA| — ALPHA|ALPHA| =

1 2 2 1 0). Матрицы этим свойством не обладают (вообще говоря, T|T| — T|T| ≠ 0). 1 2 2 1

Инвариантность (55) функции Ψ требует введения уже

1 не одномерного пространства S|, а многомерного. Например, если матрица T двумерна, то соответствующее ей пространства

3 — трехмерная сфера S|. Соотношение между размерностями матрицы (n) и соответствующего ей пространства (N) определяется квантовомеханическим условием унитарности: N=n**2–1 (n≥2).