Гладиаторы, пираты и игры на доверии. Как нами правят теория игр, стратегия и вероятности

Когда я провожу семинар или лекцию по теории вероятностей, слушатели всегда дают один и тот же ответ: «Есть только два варианта: орел или решка. Значит, шансы – 50 на 50, или половина случаев при каждом подбрасывании». Здесь я снова усложняю им жизнь и предлагаю другой пример. Поскольку мы говорим о вероятностях, Элвис Пресли может войти к нам в аудиторию и спеть Love Me Tender – или не может. Опять же, здесь два варианта – но я бы не сказал, что шансы составляют 50 на 50. Можно подумать и о других вещах, не столь очаровательных. Прямо сейчас, пока я пишу эти строки, потолок над моей головой может обрушиться и упасть – но, опять же, может и не упасть. Если бы я считал, что шансы любого исхода – 50 на 50, я бы выбежал из комнаты сломя голову, хотя мне и нравится писать. Или еще пример: моему другу удалили миндалины. У нас снова два варианта: либо он переживет операцию, либо нет. Все его друзья надеялись на счастливый финал и были почти уверены в том, что в этом случае шансы на благополучный исход гораздо выше, чем 50 %.

Мы могли бы привести немало примеров, но принцип ясен: даже когда вариантов исхода только два, шансы необязательно составят 50 на 50. Даже если эта идея генетически впечатана в наш разум, тесная связь двух вариантов и шансов 50 на 50 почти всегда оказывается неверной.

Так почему же тогда люди говорят, что подброшенная монета в половине случаев упадет вверх орлом, а в другой половине случаев – решкой? Правда в том, что у нас нет возможности узнать это достоверно. Это вам не «факт Бенджамина Франклина». Если мы хотим проверить, действительно ли шансы составляют «половину», нам следует нанять новоиспеченного пенсионера с массой свободного времени, дать ему монету и попросить подбросить ее много-много раз (можем объяснить, что это трудотерапия). И мы должны проводить этот опыт очень долго, ведь если мы подбросим монетку, скажем, раз восемь, то, скорее всего, получим всевозможные результаты. Мы можем шесть раз выбросить орла и только два раза – решку; или семь раз – орла, а решку – лишь однажды или наоборот;

или выбросить и орла, и решку по четыре раза или в любом другом сочетании. И тем не менее, если подбросить монетку тысячу раз, итоговое соотношение составит примерно 1:1 – орел и решка выпадут примерно по 500 раз. А если в итоге мы получим 600 орлов и 400 решек, то можем заподозрить, что монета была повреждена – и именно из-за этого повреждения шанс того, что она упадет на одну сторону, больше, чем шанс того, что она упадет на другую. В этом случае можно предположить, что вероятность выбросить решку составит примерно 0,6.

Итак, мы стали свидетелями тому, что даже такой простой объект, как монета, может стать причиной немалых проблем. А мы ведь еще даже не начали задавать серьезные вопросы. Например, мы могли бы спросить: почему, если подбросить обычную монету тысячу раз, выпадет приблизительно 500 орлов и 500 решек? У монет нет памяти! Ни один бросок не находится под влиянием предыдущего! Монета, четыре раза подряд упавшая орлом, не может подумать: «Ну все, хватит! Время проявить разнообразие и уравнять счета». Почему мы не можем долго получать орла за орлом – или решку за решкой? Почему числа предпочитают «выравниваться»? (Это пища для размышлений.)

Игра в кости

То, почему исходы броска монеты сходятся в предсказуемый паттерн, отчасти объясняет приведенная ниже история. Одного человека (не стану называть его имени) попросили бросить кубик сто раз и сообщить, как все прошло. Он сказал, что каждый раз выбрасывал шестерку. Конечно, мы ему не поверили. Но если бы он, скажем, назвал такие исходы: 1; 5; 3; 4; 2; 3; 5 и так далее – мы вполне могли бы согласиться с тем, что он говорит правду. Может быть, мы бы даже спросили себя: зачем он называет нам это случайное множество чисел? Этот исход такой скучный! И все же шансы получить какой-либо из этих двух особенных исходов идентичны. По сути, вероятность прийти к каждому из них составляет точно 1/6¹⁰⁰

, одну шестую в сотой степени, и практически равна нулю. (Возможно, это тоже заставит нас задуматься над тем, почему события с почти нулевой вероятностью все-таки происходят. Это на самом деле вопрос обо всем, ведь если посмотреть отстраненно, то почти всего, что происходит с нами – начиная с нашего рождения на свет, – не должно было случиться, но все же все это произошло.)

Так почему мы не верим в то, что шестерка может выпасть сто раз подряд, а вторую последовательность находим вполне разумной? Сколько очков, по наибольшей вероятности, выпадет на кубике при первом броске – 6 или 1? Совершенно ясно, что никакого различия нет. А что насчет второго броска? Что более вероятно: 6 или 5? И здесь снова нет отличий – вероятность обоих событий одинакова.

В чем же тут дело?