Игра случая. Математика и мифология совпадения

История этого треугольника начинается задолго до Блеза Паскаля{68}. Он в 1527 г. появился в работах китайского алгебраиста XIII в. Чу Шикей, позже – на титульном листе «Учебника по арифметике» Петера Апиана (который можно увидеть на картине «Послы» [1533 г.] работы Ганса Гольбейна-младшего), больше чем за век до того, как Паскаль исследовал треугольник, названный его именем{69}. В современном Иране треугольник известен как треугольник Хайяма, в честь известного персидского поэта и математика Омара Хайяма, который использовал треугольник в XII в., чтобы создать метод нахождения корней n-х степеней. В современном Китае он называется треугольником Ян Хуэя, в честь другого математика, который описал его в XIII в. В Италии это треугольник Тарталья, в честь математика Никколо Тарталья, жившего за век до Паскаля. Однако Паскаль, собрав уже известные наработки о треугольнике, использовал их в теории вероятностей{70}.

Распределение вероятностей

На рис. 7.2 показана вероятность выигрыша при ставке на «красное» в 100 турах рулетки. Мы уже видели, какую форму принимает график, когда рассматривали примеры вычислений в табл. 7.1 и коэффициенты, получаемые в результате разложения двучленов (p +

q)ⁿ. Распределение столбцов на графике справедливо называют биномиальным распределением. Слово «биномиальное» происходит от конструкции, основанной на двух мономах p и q. По мере увеличения n

график выравнивается и принимает форму колокола. Чем больше n, тем плавнее кривая.

Выберем некоторое большое значение n. Мы изменим гистограмму, сохранив без изменений ее площадь, а следовательно, и вероятность. Поскольку основание каждого столбца[11] имеет ширину в одно деление, распределение вероятностей представлено в виде площадей прямоугольников, а также их высотами. Некоторые разумные изменения – сдвиг, сжатие и растяжение – дают нам новый график, который сохраняет всю полезную информацию оригинала{71}. Конечно, теперь, в измененном графике, вертикальная ось уже не обозначает вероятность. Вероятность заключена в площадях прямоугольников, а эти площади не изменялись, потому что мы растянули график по вертикали и сжали по горизонтали в одной пропорции[12].

Чего мы достигли? Вот оно – чудо, вдохновенная идея. Кривую (гистограмма биномиального распределения, показанная на рис. 7.2), которая изображает вероятность выигрыша при ставке на «красное» в 100 турах рулетки, можно близко аппроксимировать к одной определенной математической кривой. Тут важно понимать, что одна эта кривая описывает великое множество природных феноменов, являющихся результатами случайностей. Поразительно, но эта кривая моделирует события рулетки, хотя и не имеет очевидной связи с шариками, падающими в красные ячейки колеса рулетки. Еще более удивительно, что та же кривая моделирует также и орлянку. Всего одна кривая описывает вероятности столь различных явлений. Чтобы получить информацию о вероятности конкретного явления, нам нужно ввести некоторые данные в модель. Мы должны предоставить два числа – среднее (среднее значение) и стандартное отклонение (мера разброса от среднего){72}. Два этих числа дают информацию для модели, скажем, о рулетке, а именно: вероятность наступления события

p (шарик падает в красную ячейку) – 9/19. Как только у нас есть эти конкретные p и N (число сыгранных туров рулетки), мы можем вычислить стандартное отклонение для нашей конкретной игры – ставки на «красное» в рулетке{73}. Это мера того, насколько велик разброс исходов от среднего, или стандартное отклонение от среднего, чаще называемое просто стандартным отклонением{74}

.

Итак, каждая кривая биномиального распределения трансформируется с помощью математического трюка (посредством сдвигов и масштабирования) в особую могущественную кривую нормального распределения, график которой изображен на рис. 7.4{75}.

Числа в основании кривой на рис. 7.4 – это стандартные отклонения от среднего. Мы объединили испытания в группы по стандартному отклонению. Отдельные вероятности исходов событий теперь не видны. Переменная X под кривой на рис. 7.4 показывает отклонение числа эмпирических успешных исходов от наиболее вероятного их числа. Иными словами, X, переменная горизонтальной оси, измеряется в стандартных отклонениях. Высота кривой – это уже не вероятность, поскольку мы ее масштабировали и сжали, сохранив площадь под кривой. Но в обмен на это масштабирование и сжатие мы получаем некоторые ценные сведения. Первое: около 68 % площади под кривой лежат на одном стандартном отклонении от среднего и около 95 % площади – на двух стандартных отклонениях от среднего. Второе: одно стандартное отклонение отмечено точками перегиба, т. е. точками на кривой, где кривая меняет форму с вогнутой на выпуклую.