Искатели необычайных автографов

- Нам известны три неразрешимые задачи древности, - начал Мате, квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба...

- Почему же неразрешимые! - с ходу перебил Фило. - Вы же сами только что сказали, что Эратосфен решил одну из них посредством своего замысловатого прибора.

- Решить-то решил, но незаконно. Потому что по условию при решении этих задач можно было пользоваться только двумя простейшими приспособлениями: линейкой без делений и циркулем.

- Что за глупое условие! - фыркнул Фило. - Не все ли равно, каким способом решать? Главное - добиться правильного ответа.

- Ошибаетесь, уважаемый Санчо. Решить задачу, ничего не вычисляя, манипулируя только линейкой и циркулем, - большое искусство, требующее изобретательности, остроумия, я бы даже сказал - таланта. Недаром задачам на построение уделяется на уроках геометрии особое внимание! Представьте себе: вам даны три отрезка, которые должны стать медианами некоего треугольника. Попробуйте построить этот треугольник, не прибегая ни к чему, кроме слепой линейки и циркуля.

- Увы! - безнадежно вздохнул Фило. - Для этого надо знать геометрию.

- Золотые слова, хоть и не новые. Нечто подобное сказал Платон еще в четвертом веке до нашей эры. На фронтоне его афинской академии было начертано: "Не знающий геометрии да не входит сюда!" И вот почему именно к Платону обратились за помощью делийцы, когда произошла история с удвоением куба.

- Вас не поймешь, - рассердился Фило. - То вы говорили, что удвоение куба - задача, теперь это уже история...

Но Мате попросил его не придираться к словам: удвоение куба, как и всякая задача, имеет свою историю.

В IV веке до нашей эры на острове Делос в городе Дельфах вспыхнула эпидемия чумы. Что в таких случаях думают древние люди? Они думают, что прогневили богов и, естественно, стараются узнать, каким образом их умилостивить. А посему делийцы обратились за советом к знаменитому дельфийскому оракулу, и тот изрек им волю небожителей: бедствие прекратится тогда, когда в дельфийском храме будет воздвигнут новый жертвенник, объемом ровно вдвое больше прежнего, причем форма жертвенника - куб - должна оставаться неизменной.

Ознакомившись с задачей, Платон якобы сказал, что боги задали ее делийцам не потому, что им не нравится прежний жертвенник, а в укор и назидание грекам, которые мало думают о математике и пренебрегают геометрией.

- Стало быть, задача показалась ему очень трудной, - заключил Фило. Но почему? Увеличьте ребро куба в два раза - вот вам и удвоение!

Мате сказал, что решение поистине царское, и Фило задрал было нос, но выяснилось, что таким образом пытался решить задачу об удвоении куба критский царь Минос. При этом объем получился у него не в два, а в восемь раз больше прежнего, ибо объем куба равен кубу его ребра, а два в кубе как будто восемь...

Фило, разумеется, сразу сник, но тут же сообразил, что длину ребра можно найти и другим способом. Допустим, объем прежнего куба равен единице. Тогда объем нового должен быть равен двум. Значит, извлеките корень кубический из двух, и дело в шляпе.

На сей раз Мате признал, что Фило рассуждает правильно, но вот беда: извлечь корень кубический из двух можно только приближенно. Ведь это число иррациональное, иначе говоря, несоизмеримое с единицей!

- Ничего, - не сдавался Фило, - можно небось подобрать и такую длину ребра, чтобы корень извлекался. Пусть, например, ребро куба равно двум. Тогда объем будет равен восьми, а удвоенный объем - шестнадцати. Извлечем корень кубический из шестнадцати...

- И снова получим иррациональное число. Ведь что такое шестнадцать? Это восемь умноженное на два. Из восьми корень кубический извлекается, а из двух - нет. А так как при удвоении множитель два под корнем неизбежен, значит, подобрать длину ребра, которая была бы числом рациональным, нельзя:

- Странно, странно и в третий раз странно. Выходит, удвоение куба вообще невозможно?

- Невозможно с помощью слепой линейки и циркуля. Но есть в геометрии и другие способы. Вместо того чтобы извлекать корень, который нельзя вычислить точно, можно найти длину ребра непосредственно на чертеже. Именно так и поступали древние греки. А так как работа эта достаточно кропотлива, Эратосфен решил упростить ее и придумал прибор, который находит длину ребра чисто механически.

- Платон, наверное, сказал бы, что Эратосфен сплутовал, - добродушно предположил Фило.

- Это вы хорошо заметили, - похвалил Мате. - Эратосфен тоже был убежден, что Платон бы его по головке не погладил.

- Откуда вы знаете?

- От самого Эратосфена. Он написал сочинение "Платоник", где немалое место занимает задача об удвоении куба. Способы решения ее обсуждают греческие математики Архит, Менехм, Эвдокс и, конечно, сам Платон. И когда заходит речь о применении механического прибора, Эратосфен, искусно подделываясь под стиль Платона, заставляет его высказать отрицательное отношение к подобному способу.

- Знаете, - неожиданно заявил Фило, - на месте Платона я бы рассуждал точно так же. По-моему, людям не следует избавлять себя от необходимости думать.