Искатели необычайных автографов

- Возможно, - кивнул Мате, - но у Платона были на этот счет и другие соображения, связанные с его мировоззрением. Как философ-идеалист, он презирал все материальное, преходящее, осязаемое. Грубое плотницкое приспособление принижало в его глазах науку, предметом которой, по его мнению, должно быть только отвлеченное, высокое, бесконечное. Кроме того (это уж моя собственная догадка!), всякий механический прибор неминуемо связан с движением. Вот и прибор Эратосфена основан на передвижении планок. А в те времена вводить движение в геометрию считалось дурным тоном. Так полагали и Платон, и ученик его Аристотель, а вслед за Аристотелем друг наш Хайям. Между прочим, доказательство пятого постулата, принадлежащее ал-Хайсаму, Хайям критиковал как раз за то, что в нем есть элемент движения...

- Хорошо, что вы вспомнили о Хайяме! - обрадовался Фило. - Любопытно бы узнать, как он умудрялся решать кубические уравнения с помощью конических сечений?

- Прекрасный вопрос! - воодушевился Мате. - Только что собирался рассказать вам о способе удвоения куба, придуманном Менехмом.

- В огороде бузина, а в Киеве дядька! При чем тут Менехм? Я же вас про Хайяма спрашиваю! Про Хайяма, который жил полтора тысячелетия спустя!

- Тем не менее между ними прямая связь. И сейчас вы это поймете, если только нальете мне еще стакан вашего несравненного чая.

СНОВА КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ

-Так вот, - продолжал Мате, принимая из рук Фило заново наполненный стакан, - вы уже сами установили, что задача об удвоении куба сводится к вычислению корня кубического из двух. На языке современной алгебры, то есть пользуясь буквенными обозначениями, это можно записать так: , что вытекает из известного еще в Древнем Вавилоне уравнения x3 = 2. Менехм предложил записать это уравнение в виде двойной пропорции:

1/х = х/у = у/2.

- Не понимаю, - сказал Фило, - откуда взялся игрек?

Мате возвел очи к небу. О Господи! Он и забыл, что для Фило алгебраические преобразования - китайская грамота.

- Исключите из этих двух пропорций смущающий вас игрек, и вы снова получите x3 = 2,- объяснил он, доставая блокнот. - Смотрите. Из пропорции 1/х = х/у следует, что у = х2. Подставьте в равенство ху = 2 вместо игрека x2, и получится, что х3 = 2. Теперь вы видите, что от преобразования, сделанного Менехмом, наше первоначальное уравнение ничуть не изменилось.

- Зачем же было переливать из пустого в порожнее?

- Как - зачем? Да ведь вместо одного уравнения мы получили два: ху = 2 и у = х2.

- Подумаешь, прибыль!

- И очень большая. Потому что ху = 2 - это не что иное, как уравнение равносторонней гиперболы, а у = х2 - уравнение параболы!

- Конические сечения!

- В том-то и дело. И, стало быть, теперь мы можем изобразить наше уравнение в виде кривых на чертеже. Для этого начертим сперва оси координат...

- Чего-чего?

- Оси координат, - раздельно повторил Мате. - Пора о них знать.

- Вот еще! - фыркнул Фило, пылая благородным негодованием. - Мы этого в школе не проходили.

- Не мы, а вы, - уточнил Мате. - Вы не проходили. Но теперь вам от этого не отвертеться. Так вот, достопочтенный Санчо, соблаговолите запомнить, что оси координат существуют для того, чтобы определять положение точки на плоскости или в пространстве. Само собой разумеется, что для нахождения точки на плоскости достаточно двух координат. Если же точка находится в пространстве, которое, как известно, трехмерно, тут уж потребуются три координаты.

- Ну, это нам ни к чему, - быстро ввернул Фило. - Мы ведь ищем точку на плоскости. Стало быть, хватит с нас и двух координат.

- Прекрасно! - неожиданно похвалил Мате. - Раз вы уразумели это, значит, поймете и то, как строятся графики уравнений. Итак, вычертим оси координат, иначе говоря - две взаимно перпендикулярные прямые. Одну из них - горизонтальную - назовем осью иксов, другую - вертикальную - осью игреков. Точку их пересечения обозначим буквой О. Начнем с уравнения параболы...

- Игрек равняется иксу в квадрате, - сейчас же припомнил Фило.

- Вот именно, - подтвердил Мате. - В чем особенность этого уравнения? А в том, что каким бы ни было числовое значение икса, игрек всегда будет равен квадрату этого числа. Допустим, что икс равен нулю. Тогда игрек равен...

- ...тоже нулю, - подхватил Фило.

- Правильно. Вот и найдем эту точку на плоскости.

- А ее искать нечего: вот она! - Фило ткнул пальцем в точку О.

- Совершенно верно. Иначе, точка с координатами ноль, - ноль совпадает с началом координат. Пошли дальше. Допустим, что икс равен единице. Тогда игрек тоже равен единице, так ведь? Найдем точку с координатами единица единица. Для этого отложим сперва единицу на оси иксов вправо от точки 0...

- В каких единицах длины? - озабоченно перебил Фило.

- В каких угодно. Но для удобства лучше все-таки не в километрах.

- Тогда в сантиметрах?