Избранные научные труды. Том 1

1 Ленард замечает в своей последней работе (II, стр. 4), что механические нерегулярности, конечно, должны уменьшаться, но не могут, даже вдали от отверстия, полностью исчезать из-за сопротивления воздуха. Поскольку, однако, сопротивление воздуха очень быстро становится постоянным (по мере удаления от отверстия), мы видим, что влияние этого сопротивления на изучаемый эффект не изменяет существа приведённого выше заключения о постоянстве коэффициента поверхностного натяжения. Оно может вызывать изменения лишь значения этой найденной константы. Что касается вопроса о численной оценке влияния сопротивления воздуха, то я упомяну здесь о неопубликованных экспериментах, выполненных мной в процессе предыдущих исследований. Вокруг струи, на расстоянии порядка 10 см от отверстия, была помещена большая и тщательно изготовленная ирисовая диафрагма, причём струя проходила как раз через центр этой диафрагмы. Она была сначала открыта, так что струю окружало свободное пространство шириной в 5 см (раствор диафрагмы составлял 10 см). После этого диафрагма закрывалась, так что указанное свободное пространство между струёй и диафрагмой не превышало 0,2 мм, и одновременно с помощью отражения от поверхности струи телескопом фиксировалась пучность струи на расстоянии 30 см от отверстия (см. I, стр. 36). При этом было обнаружено, что указанная пучность в процессе закрытия диафрагмы смещалась лишь очень незначительно (меньше, чем на 0,1 мм). Этот простой эксперимент был повторён несколько раз и всегда с неизменным результатом. Поскольку такое раскрытие диафрагмы, полностью останавливая слои воздуха, приводимые в движение струёй, должно очень существенно увеличивать сопротивление (струя вызывает вполне заметный поток воздуха), этот эксперимент, с моей точки зрения, весьма определённо свидетельствует о том, что сопротивление воздуха не может иметь заметного влияния на результаты. Кроме того, в дальнейшем будет показано, что знак поправки на сопротивление воздуха к коэффициенту поверхностного натяжения противоположен предполагавшемуся Ленардом.

Что касается вопроса о возможном изменении величины коэффициента поверхностного натяжения за те 0,06 сек, которые следуют за моментом образования поверхности, то мне представляется, что мои эксперименты не дают какого-либо основания для заключения о существовании такого рода изменения, поскольку, как мы увидим, можно не сомневаться в том, что найденные изменения длины волны связаны с различием в величинах скоростей концентрических слоёв струи. Последний эффект возникает вследствие трения в процессе образования струи, когда центральные области струи получают бо́льшую скорость, чем области, примыкающие к поверхности. Эта разность скоростей уменьшается по мере удаления от источника благодаря вязкости. Поскольку средняя скорость струи остаётся постоянной, это означает, что скорость внешних слоёв возрастает, в то время как скорость центральных частей уменьшается. То обстоятельство, что длина волны вблизи отверстия меньше, чем вдали от него, всегда представлялось мне естественным следствием того, что скорость поверхности (наружных частей струи) меньше и рассматриваемые волны являются поверхностными волнами (скорость колебания частиц жидкости уменьшается по мере удаления от поверхности и обращается в нуль на оси струи). Однако в своей работе (см. II, стр. 4) Ленард придерживается того мнения, что внутреннее перемешивание, возникающее в процессе колебательного движения вследствие взаимного смещения концентрических слоёв струи, вызывает кажущееся возрастание массы и поэтому приводит к увеличению времени колебания, а следовательно, и длины волны.

Для более подробного исследования этого вопроса я провёл приводимый ниже прямой расчёт длины волны исходя из предположения, что различные концентрические слои струи движутся с различными скоростями.

Общее уравнение движения несжимаемой жидкости без вязкости в отсутствие внешних сил имеет вид

ρ

𝐷𝑢

𝐷𝑡

=-

∂𝑝

∂𝑥

,

ρ

𝐷𝑣

𝐷𝑡

=-

∂𝑝

∂𝑦

,

ρ

𝐷𝑤

𝐷𝑡

=-

∂𝑝

∂𝑧

,

(1)

и

∂𝑢

∂𝑥

+

∂𝑣

∂𝑦

+

∂𝑤

∂𝑧

=0.

(2)

Здесь 𝑢, 𝑣, 𝑤 — компоненты скорости, 𝑝 — давление, ρ — плотность и

𝐷

𝐷𝑡

=

∂

∂𝑡

+𝑢

∂

∂𝑥

+𝑣

∂

∂𝑦

+𝑤

∂

∂𝑧

.

В рассматриваемой задаче движение стационарно. Полагая 𝑤=𝑊+ω и принимая, что 𝑢, 𝑣 и 𝑤 достаточно малы, чтобы произведения ми их, а также и другими величинами того же порядка можно было бы пренебречь в этом расчёте, находим из уравнений (1)

ρ𝑊

∂𝑢

∂𝑧

=-

∂𝑝

∂𝑥

,

ρ𝑊

∂𝑣

∂𝑧

=-

∂𝑝

∂𝑦

,

ρ

⎧

⎪

⎩

𝑢

∂𝑊

∂𝑥

+𝑣

∂𝑊

∂𝑦

+𝑤

∂𝑊

∂𝑧

⎫

⎪

⎭

=-

∂𝑝

∂𝑧

.

(3)

Вводя полярные координаты 𝑟 и θ (𝑥=𝑟 cos θ, 𝑦=𝑟 sin θ), а также радиальную α и тангенциальную β составляющие скорости с помощью соотношений

𝑢=αcos θ - βsin θ,

𝑣=αsin θ + βcos θ,

а также имея в виду, что 𝑊 зависит только от радиуса, уравнение (3) можно представить в виде

ρ𝑊

∂α

∂𝑧

=-

∂𝑝

∂𝑟

,

ρ𝑊

∂β

∂𝑧

=-

1

𝑟

∂𝑝

∂θ

,

ρ

⎧

⎪

⎩

α

∂𝑊

∂𝑟

+𝑊

∂ω

∂𝑧

⎫

⎪

⎭

=-

∂𝑝

∂𝑧

,

(4)

а уравнение (2) — в виде

∂α

∂𝑟

+

α

𝑟

+

1

𝑟

∂β

∂θ

+

∂ω

∂𝑧

=0.

(5)

Полагая теперь, что α, β, ω и 𝑝 имеют вид ƒ(𝑟)𝑒^{𝑖𝑛θ+𝑖𝑘𝑧}, из уравнений (4) и (5) находим

∂²𝑝

∂𝑟²

+

∂𝑝

∂𝑟

⎧

⎪

⎩

1

𝑟

-

2

𝑊

∂𝑊

∂𝑟

⎫

⎪

⎭

-𝑝

⎧

⎪

⎩

𝑛²

𝑟²

+𝑘²

⎫

⎪

⎭

=0.

(6)

В случае 𝑊=const решение уравнения, удовлетворяющее условию конечности при 𝑟=0, имеет вид

𝑝

₀

=

𝐴𝐽

_𝑛

(𝑖𝑘𝑟)

𝑒