Избранные научные труды. Том 1

^{𝑖𝑛θ+𝑖𝑘𝑧}

,

(7)

где 𝐽_𝑛 функция Бесселя 𝑛-го порядка. Полагая

𝑝=

𝑝

₀

exp

⎧

⎪

⎩

_𝑟

∫

⁰

ψ(𝑟)𝑑𝑟

⎫

⎪

⎭

,

(8)

из уравнения (6) получаем

𝑑ψ

𝑑𝑟

+ψ²+ψ

⎧

⎪

⎩

1

𝑟

+

2

∂𝑝

₀

𝑝

₀

∂𝑟

-

2

∂𝑊

𝑊

∂𝑟

⎫

⎪

⎭

-

2

∂𝑝

₀

∂𝑊

𝑝

₀

𝑊

∂𝑟

∂𝑟

=0.

(9)

Положим теперь, что 𝑊=𝑐+σ, где 𝑐 — средняя скорость струи, а σ — величина, малая по сравнению с этой скоростью. В этом случае ψ мало, и, пренебрегая членами порядка (σ/𝑐)², мы находим из (9)

𝑑ψ

𝑑𝑟

+ψ

⎧

⎪

⎩

1

𝑟

+

2

∂𝑝

₀

𝑝

₀

∂𝑟

⎫

⎪

⎭

-

2

∂𝑝

₀

𝑑σ

𝑐𝑝

₀

∂𝑟

𝑑𝑟

=0.

(10)

Численное значение |𝑖𝑘𝑟|, соответствующее условиям эксперимента, будет очень малым (длина волны велика по сравнению с диаметром струи). Поэтому, чтобы не усложнять формулы, мы будем при вычислении ψ использовать только первый член разложения 𝐽_𝑛(𝑖𝑘𝑟). При этом (1/𝑝₀)∂𝑝₀/∂𝑟 и решение уравнения (9) принимает вид

ψ=

2𝑛

𝑐

𝑟

^-(2𝑛+1)

⎧

⎪

⎩

_𝑟

∫

⁰

𝑑σ

𝑑𝑟

𝑟

^2𝑛

𝑑𝑟

+𝐶

⎫

⎪

⎭

.

Учитывая конечность ψ при 𝑟=0, находим, что 𝐶=0. Интегрируя по частям, получаем

ψ=

2𝑛

𝑐𝑟

σ-

4𝑛²

𝑐𝑟^2𝑛+1

_𝑟

∫

⁰

σ𝑟

^2𝑛-1

𝑑𝑟

.

(11)

Предположим, что уравнение поверхности имеет вид

𝑟-𝑎=ζ=

𝐵

𝑒

^{𝑖𝑛θ+𝑖𝑘𝑧}

.

Общие граничные условия дают при этом

𝐷

𝐷𝑡

(𝑟-𝑎-ζ)

=

⎧

⎪

⎩

α

∂

∂𝑟

+β

∂

∂θ

+𝑤

∂

∂𝑧

⎫

⎪

⎭

(𝑟-𝑎-ζ)

=0,

откуда мы получаем, пренебрегая величинами того же порядка, что и в случае уравнений (3)

α-𝑊

∂ζ

∂𝑧

=0,

ζ=

𝑖

𝑊𝑘

α.

Подобным же образом, обозначая через 𝑅₁ и 𝑅₂ главные радиусы кривизны, мы имеем далее

1

𝑅₁

+

1

𝑅₂

=

1

𝑎

-

ζ

𝑎²

-

1

𝑎²

∂²ζ

∂θ²

-

∂²ζ

∂𝑧²

=

1

𝑎

-α

𝑖(𝑛²-1+𝑘²𝑎²)

𝑎²𝑊𝑘

.

Обозначая коэффициент поверхностного натяжения через 𝑇, мы находим следующее динамическое условие на поверхности:

𝑇

⎧

⎪

⎩

1

𝑅₁

+

1

𝑅₂

⎫

⎪

⎭

-𝑝

=const.

Отсюда находим (в тех же приближениях, что и раньше), используя формулу (4):

⎡

⎢

⎣

𝑇(𝑛²-1-𝑘²𝑎²)

ρ𝑎²𝑘²𝑊²

∂𝑝

∂𝑟

-𝑝

⎤

⎥

⎦𝑟=𝑎

=0.

(12)

Из (12) с помощью (7) и (8) получаем

𝑘²

=

𝑇

𝑖𝑎𝑘

𝐽

'

𝑛

(𝑖𝑎𝑘)

ρ𝑎³ 𝐽

𝑛 (𝑖𝑎𝑘)

(𝑛²-1-𝑘²𝑎²)

⎡

⎢

⎣

1

𝑊²

⎧

⎪

⎩

1+ψ

𝑝₀

∂𝑝₀/∂𝑟

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦𝑟=𝑎

.

(13)

Наконец, из формулы (13) с помощью (11) и в том же приближении, которое было использовано при вычислении ψ, имеем

𝑘²

=

𝑇

𝑖𝑎𝑘

𝐽

'

𝑛

(𝑖𝑎𝑘)

ρ𝑐²𝑎³ 𝐽

𝑛 (𝑖𝑎𝑘)

(𝑛²-1-𝑘²𝑎²)

⎡

⎢

⎣

1-

4𝑛

𝑐𝑎^2𝑛

_𝑎

∫

⁰

σ𝑟

^2𝑛-1

𝑑𝑟

⎤

⎥

⎦

.

(14)

Это соотношение, за исключением последнего члена, совпадает с решением, полученным Рэлеем. Мы видим, таким образом, что влияние различия в величинах скоростей концентрических слоёв струи состоит в том, что в формуле для длины волны λ=2π/𝑘 выражение для средней скорости струи 𝑐 заменяется «эффективной средней скоростью»

𝑐'=𝑐+

2𝑛

𝑎^2𝑛

_𝑎

∫

⁰

σ𝑟

^2𝑛-1

𝑑𝑟

(15)

Из выражения (15) мы видим, что чем больше и, тем ближе будет эффективная средняя скорость совпадать со скоростью движения поверхности. Это объясняется тем, что чем больше значение 𝑛 (т. е. число волн, укладывающееся на длине окружности сечения струи), тем быстрее будет уменьшаться скорость колебательного движения частиц жидкости при переходе от поверхности к оси струи.

Теперь можно показать, что 𝑐' будет меньше 𝑐, если скорость струи имеет наибольшее значение в центре и постепенно уменьшается к поверхности (это и будет иметь место в условиях эксперимента). Поскольку 𝑐 — средняя скорость струи, то

_𝑎

∫

⁰

σ𝑟

𝑑𝑟

=0,

и в рассматриваемом случае

_𝑎

∫

⁰

σ𝑟

𝑑𝑟

>0,

если 𝑎 > 𝑟 > 0. Отсюда получаем для 𝑛 ≥ 2 (в экспериментах 𝑛 = 2)

𝑐'-𝑐

=

2𝑛

𝑎^2𝑛

_𝑎

∫

⁰

σ𝑟

^2𝑛-1

𝑑𝑟

=-

2𝑛(2𝑛-2)

𝑎^2𝑛

_𝑎

∫

⁰

⎧

⎪

⎩

_𝑟

∫

⁰

σ𝑟

𝑑𝑟

⎫

⎪

⎭

𝑟

^2𝑛-3

𝑑𝑟

<0.

(16)

Мы видим, что указанное различие скоростей приводит к изменению длины волны именно того знака, как это было найдено на опыте. Покажем теперь, что величина скорости изменения длины волны также приблизительно согласуется с законом затухания разности скоростей. Для этого мы используем четыре эксперимента, данные о которых представлены в таблице, приведённой в I (см. стр. 41). В помещённой ниже таблице приведены размеры среднего радиуса струи 𝑎 и скорости 𝑣 (вычисленной по значениям расхода воды и среднего радиуса).

Таблица

I

II

III

IV

𝑎

0,06755

0,07554

0,07595

0,08010

𝑣

426

428

426

429

𝐷

₂

/𝐷

₁

0,54

0,53

0,53

0,50

𝑙

4,30

5,16

5,16

5,59

α=(𝐷

₂

/𝐷

₁

)

^𝑣/100𝑙

0,54

0,59

0,59

0,59

α'=exp

⎧

⎨

⎩

-

μ

ρ

⎧

⎪

⎩

π⋅1,2197

α

⎫

⎪

⎭

1

100

⎫

⎬

⎭

0,67

0,72

0,73

0,75

В выражении 𝐷₂/𝐷₁ числитель означает разность между длиной волны, измеренной по расстоянию между IV и V пучностями, и постоянным значением, к которому она стремится вдали от начала струи, а знаменатель — соответствующую разность между расстоянием от II до III пучности и тем же предельным значением. При этом в значения соответствующих разностей введены небольшие поправки на кривизну струи и на конечность амплитуд волны — в согласии с тем, как это делалось в работе 1 в связи с табл. 2 (стр. 41). Далее, через 𝑙 обозначена разность между средними значениями отсчётов положений IV и V и соответственно II и III пучностей волн; α означает отношение разностей между длиной волны и её предельным значением в двух местах, отделённых расстоянием, которому соответствует промежуток времени 0,01 сек (при вычислении предполагалось, что эти разности спадают по экспоненциальному закону). Наконец, α' означает отношение максимальных изменений скоростей струи по сечению в двух местах, отделённых тем же интервалом времени 0,01 сек, вычисленное по теоретической формуле (см. I, стр. 28).